FACHHOCHSCHULE M ¨UNCHEN FACHBEREICH 03 FA SS 2005 VORPR ¨UFUNG IN MATHEMATIK - FAHRZEUGTECHNIK

(1)

FACHHOCHSCHULE M ¨ UNCHEN FACHBEREICH 03 FA SS 2005 VORPR ¨ UFUNG IN MATHEMATIK - FAHRZEUGTECHNIK

Arbeitszeit: 90 Minuten

Hilfsmittel: Formelsammlung, Skripten, B¨ucher, nichtprogrammierbare Taschenrechner Aufgabensteller: Kloster, P¨oschl, Schlamp, Selting, Warendorf

Name: Geb.-Datum: Punkte:

Vorname: Stud.-Gruppe: Korr.:

Matrikelnummer:

Raum/Platz-Nr.: Aufsicht: Note:

Aufgabe 1: (ca. 6 Punkte) Falls m¨oglich berechne man die Inversen von

A =





1 3 − 1 2 5 − 1 0 4 − 3



 B =





1 3 1

1 4 3

2 3 − 4





Wie lautet die L¨osung X ∈ R

^3×3

des linearen Matrix–Gleichungssystems A X = B .

(2)

F¨ur welche Werte des Parameters α ∈ R besitzt das lineare Gleichungssystem 2 x

1

− x

2

+ x

3

= 6

x

1

− α x

2

− 2 x

3

= α

− 3 x

1

+ 2 x

2

+ α x

3

= − 7 (a) keine L¨osung?

(b) unendlich viele L¨osungen?

(c) genau eine L¨osung?

(d) Man berechne die Lösungen in den Fällen (b) und (c). Setzen Sie bei der Lösung von (c) den Parameter α = 3.

2

(3)

Fortsetzung Aufgabe 2

3

(4)

Gegeben sind die drei Vektoren ~ x =  1 α 2

 , ~ y =  α

2 3

 und ~ z =  4 5 5

 . (a) F¨ur welche Werte von α sind die drei Vektoren linear unabh¨angig?

(b) F¨ur welche Werte von α sind die drei Vektoren linear abh¨angig?

Wie l¨aßt sich in diesem Fall der Vektor ~ z =



 4 5 5



 durch die beiden anderen Vektoren

~ x =



 1 α 2



 und ~ y =



 α

2 3



 darstellen ?

4

(5)

Aufgabe 4: (ca. 5 Punkte) Berechnen Sie f¨ur die Matrix A =





3 1 1 0 2 0 8 0 1



 alle Eigenwerte und Eigenvektoren

5

(6)

Gegeben ist die Gleichung eines Kegelschnitts im Koordinatensystem x

1

, x

2

.

~

x

^T

A ~ x + ~b

^T

~ x + c = 0 (1) mit A =

µ 5 4 4 5

¶

, ~b = − √ 2

µ 20 16

¶

, ~ x = µ x

1

x

2

¶

, c = 31

Geben Sie die Gleichung der Standardform des Kegelschnitts an und zeichnen Sie den Kegel- schnitt im Ausgangskoordinatensystem x

1

, x

2

.

(Hinweis: die einzelnen Konstruktionsschritte der Zeichnung (=Hilfskoordinatensysteme) sollen erkennbar sein!)

6

(7)

Fortsetzung Aufgabe 5

7