Zeigen Sie, dass die Funktion ˜ u(t;s) =yo(t

Numerik, Sommersemester 2010 Aufgabenblatt 9

Prof. Peter Bastian Abgabe 18. Juni 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 L ¨OSBARKEIT VONRWA Wir betrachten das Randwertproblem

¨

y(t) =−y(t), y(0) =a, y(T) =b, y(t)∈R.

F ¨ur welche Werte vonT besitzt dieses Problem keine eindeutige L ¨osung? Welche Beziehung m ¨ussen aundbin diesen F¨allen erf ¨ullen, damit es ¨uberhaupt eine L ¨osung gibt?

2 Punkte U¨BUNG2 LINEAR INHOMOGENERWA

Gegeben sei die linear inhomogene RWA

u⁰(t)−A(t)u(t) = f(t), t∈I := [a, b], Bau(a) +B_bu(b) = g

mit den MatrixenB_a, B_b ∈ R^d×d, A : R → R^d×d und einem Vektor g ∈ R^d. Zeigen Sie, dass die Funktion

˜

u(t;s) =yo(t) +

d

X

i=1

siyi(t) =y0(t) +Y(t)s

mit den L ¨osungen derd+ 1linearen AWA

y₀⁰(t)−A(t)y₀(t) = f(t), t≥a, y₀(a) = 0,

yi(t)−A(t)yi(t) = 0, t≥a, yi(a) =ei, i= 1, . . . , d

eine L ¨osung der RWA ist, wenns∈R^ddie Gleichung

(Ba+B_bY(b))s=g−B_by0(b)

erf ¨ullt.(Bemerkung: Es gilt sogar, dass die RWA genau dann eine eindeutige L¨osung hat, wenn die Matrix B_a+B_bY(b)regul¨ar ist.)

4 Punkte

U¨BUNG3 STURMLIOUVILLE

Die regul¨aren Sturm-Liouville Probleme gen ¨ugen der Darstellung

−(pu⁰)⁰(t) +q(t)u⁰(t) +r(t)u(t) =f(t), t∈I = [a, b]

α1u⁰(a) +α0u(a) =ga, β1u⁰(b) +β0u(b) =g_b

Dabei seienp∈C¹(I),q, r, f ∈C(I)nicht singul¨ar und beschr¨ankt. Des weiteren seienα0, α1, β0, β1, ga, gb

reelle Konstanten.

• Formulieren Sie das RWA als System erster Ordnung.

• F ¨ur Dirichlet-Randbedingungen

u(a) =ga, u(b) =g_b

soll die L ¨osbarkeit des Problems untersucht werden. Zeigen Sie unter Verwendung der Ergeb- nisse von (und insbesondere der Bemerkung zu) Aufgabe 2, dass es hierzu aureichend ist zu zeigen, dass das homogene Problem mitf(t) = 0, ga=gb = 0nur die triviale L ¨osungu(t) = 0 besitzt.

• Zeigen Sie, dass unter den Bedingungen

p(t)≥ρ >0, ρ+ (b−a)²min

t∈I{r(t)−1

2q⁰(t)}>0

f ¨ur einρ∈R, das Sturm-Liouville Problem mit Dirichlet-Bedingungen eine eindeutige L ¨osung besitzt.

Hinweis: Multiplizieren Sie die Differentialgleichung des homogenen Falls mitu(t)und integrieren Sie selbige ¨uber das IntervallI. Verwenden Sie gegebenenfalls die Poincar´esche Ungleichung

Z

I

u²dt≤(b−a)² Z

I

(u⁰)²dt.

4 Punkte

U¨BUNG4 SINGLESHOOTING

Ein Kanonier m ¨ochte mit seiner Kanone einen bestimmten Punkt in der Entfernungx^f₁ treffen.

Hierf ¨ur m ¨ochte er mit Hilfe der Methode des Single Shootingeinen passenden Winkel finden, mit dem er die Kanone abschießen soll. Das Geschoß folgt dabei unter Vernachl¨assigung der Luftreibung der Bewegungsgleichung

¨ x=−

0 g

mit den Randbedingungen

x(0) = 0

0

, kx(0)k˙ =v0, x(T) = x^f₁

0

. Die Bezeichnungen entsprechen folgender Abbildung:

Berechne die korrekte Stellung der Kanone ^x_x^˙_˙²⁽⁰⁾

1(0). Falls es analytisch zu kompliziert wird, darf man auch das 1D-Newtonverfahren anwenden und den numerisch ermittelten Zahlenwert angeben. F ¨ur die Modellkonstanten sind die folgenden Zahlenwerte zu w¨ahlen:

g= 9.81m

s², v0= 500m

s, x^f₁ = 1000m.

4 Punkte