Zeigen Sie, dass dann die global ein- deutige L ¨osungu:R→Rndes linearen Anfangswertproblems u0(t) =Au(t), t≥t0, u(t0) =u0 t0 ∈R, u0 ∈Rn durch u(t

Numerik, Sommersemester 2010 Aufgabenblatt 2

Prof. Peter Bastian Abgabe 7. Mai 2010

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 LEMMA VON GRONWALL

Das Lemma von Gronwall lautet:

F ¨ur die st ¨uckweise stetige Funktionw(t)gelte:

w(t)≤ Z t

t0

a(s)w(s)ds+b(t), t≥t0.

Hierbei seia(t)≥0eine integrierbare undb(t)≥0eine monoton wachsende Funktion. Dann folgt

w(t)≤exp





t

Z

t0

a(s)ds



b(t), t≥t₀.

Verwenden Sie diese Beziehung, um das folgende diskrete Analogon zu beweisen:

Seien(w_n)n≥0,(a_n)n≥0 und(b_n)n≥0Folgen nicht negativer Zahlen, mitw₀≤b₀und w_n≤

n−1

X

ν=0

a_νw_ν+b_n, n≥1

dann gilt unter Annahme einer nicht fallenden Folge(b_n)n≥0: w_n≤exp(

n−1

X

ν=0

a_ν)b_n, n≥1.

4 Punkte U¨BUNG2 LINEAREANFANGSWERTAUFGABEN

1. SeiA ∈ R^n×n eine symmetrisch positiv definite Matrix. Zeigen Sie, dass dann die global ein- deutige L ¨osungu:R→Rⁿdes linearen Anfangswertproblems

u⁰(t) =Au(t), t≥t0, u(t0) =u0 t0 ∈R, u0 ∈Rⁿ durch

u(t) =

n

X

i=0

ζ_ie^αit

mitα_i∈Rundζ_i ∈R^ddargestellt werden kann.

2. Bestimmen Sie die L ¨osung der AWA

˙ x(t) =

1 1 0 1

x(t), x(0) = 1

1

mitx: [0,∞)→R².

3. F ¨ur jede MatrixM ∈C^n×nexistiert einT ∈C^n×nso dass eine Darstellung

T⁻¹M T =







Jα1 0

. ..

0 J_αk







mitk≤nund den Jordank¨astchen

Jαi =









 αi 1

. .. ...

α_i 1 α_i











existiert.

Dies nennt man die Jordansche Normalform und dieαisind gerade die Eigenwerte der Matrix M.

Zeigen Sie, dass die L ¨osung der AWA aus Teil 1. f ¨ur beliebigesA ∈ R^n×n genau dann eine Darstellung

u(t) =

n

X

i=0

ξie^βit βi ∈C, ξi∈C^d

hat, wenn die Jordansche Normalform zur Diagonalmatrix degeneriert, die MatrixAalso dia- gonalisierbar ist.

5 Punkte U¨BUNG3 L ¨OSBARKEITSEIGENSCHAFTEN

Untersuchen Sie mit Hilfe der Resultate aus der Vorlesung die L ¨osbarkeitseigenschaften (eindeutig, global, beschr¨ankt, exponentiell stabil) der folgenden AWA:

1. u⁰(t) =u(t)², t≥0, u(0) = 1, 2. u⁰(t) =−u(t)², t≥0, u(0) = 1, 3. u⁰(t) =u(t)^1/2, t≥0, u(0) = 1,

4. u⁰(t) = cos(u(t))−2u(t), t≥0, u(0) = 1.

4 Punkte U¨BUNG4 ABSCHNEIDE-FEHLER DES IMPLIZITENEULER VERFAHRENS

Der Abschneide-Fehler des impliziten Euler Verfahrens zur L ¨osung einer Anfangswertaufgabe u⁰(t) =f(u(t), t), t≥t₀, u(t₀) =u₀

ist gegeben durch

τ_n^h=h⁻¹_n (u(tn)−u(tn−1))−f(tn, u(tn)),

wobei (tn)n≥0 eine Folge diskreter Zeitpunkte und hn = tn+1 −tn die zugeh ¨origen Schrittweiten darstellen.

Zeigen Sie durch Taylor-Entwicklung inu(·)

tn−1, dass gilt:

kτ_n^hk= hn

2 ku⁰⁰(ζ_n)k f ¨ur ein ζ_n∈[tn−1, t_n].

4 Punkte