Zeigen Sie: (V /U)∗∼=U0

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2011 Matthias Makowski, Marcello Sani

Ubungen zur Vorlesung Lineare Algebra 2¨

Blatt 5

Aufgabe 5.1. (2 Punkte) SeienF ein K¨orper,V einF-Vektorraum,U ein Unterraum vonV und U⁰:={ϕ∈V^∗:ϕ(u) = 0∀u∈U} ⊂V^∗

derAnnullator vonU. Zeigen Sie:

(V /U)^∗∼=U⁰.

Aufgabe 5.2. (4 Punkte) Berechnen Sie die Determinante der MatrixA= (aⁱ_j)i,j=1,...,n mit:

a) aⁱ_j=δⁱ_j+vⁱ·

n

X

k=1

v^kδkj f¨ur einen Vektorv∈Rⁿ; b) aⁱ_j= 1, fallsi6=j, undaⁱ_i=αf¨urα∈R.

Aufgabe 5.3. (4 Punkte)

Unter demZentrumeiner GruppeGversteht man die Menge aller Gruppenelementez, die mit jedem anderen Gruppenelement vertauschbar sind, die also die Gleichunggz=zgf¨ur alle g∈Gerf¨ullen. Zeigen Sie: Das Zentrum der linearen GruppeGL(n, F) besteht genau aus allen invertierbaren Matrizen der Formc·11 mit c∈F\ {0}.

Aufgabe 5.4. (6 Punkte) (Fortsetzung der Aufgabe 3.4)

SeiH(n) der reelle Vektorraum der hermiteschen (n×n)-Matrizen, deren Spur verschwindet und seienO(n) der Raum der orthogonalen (n×n)-Matrizen undU(n) der Raum der unit¨aren (n×n)-Matrizen. Beweisen Sie:

a) Ist T ∈U(n), so wird durch ad(T) :H(n) →H(n), A7→T AT⁻¹ eine orthogonale AbbildungH(n)→ H(n) definiert.

b) T 7→ ad(T) ist ein Homomorphismus vonU(n) in die Gruppe der orthogonalen Endomorphismen von H(n); diese Gruppe ist isomorph zuO(dimH(n)).

c) i) Die Matrizen E1=

1 0 0 −1

, E2=

0 i

−i 0

, undE3=

0 1 1 0

bilden eine Basis vonH(2). Sie heißenPauli-Spin-Matrizen.

ii) Seien 1 ≤ j ≤ 3 und 1 ≤ k ≤ 3. Es gilt [Ej, Ek] = 0, falls j = k ist, und [E_σ(1), E_σ(2)] =

−2·signσ·E_σ(3) f¨ur eine Permutationσ.

d) Es gibt einen Isomorphismus von Vektorr¨aumen κ : H(2) → R³, s.d. κ(Eν) = 2eν, f¨ur 1 ≤ ν ≤ 3, undκ([A, B]) =κ(A)×κ(B), f¨ur alle A, B ∈ H(2), gilt. Hier wird durch× das Kreuzprodukt aufR³ bezeichnet.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen11.html#LAII Abgabe:Bis Dienstag, 24.5.2011, 10.00 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.