1. (a) (5P) Sei G ⊂ C ein Gebiet und sei f ∈ H(G). Zeigen Sie, dass B = {g ∈ H(G) | |g| ≤ |f |} beschr¨ ankt in H(G) ist.

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 19.11.2018 Blatt 7

Ubungen zu Funktionalanalysis I ¨

1. (a) (5P) Sei G ⊂ C ein Gebiet und sei f ∈ H(G). Zeigen Sie, dass B = {g ∈ H(G) | |g| ≤ |f |} beschr¨ ankt in H(G) ist.

(b) (5P) Geben Sie ein Beispiel f¨ ur ein f ∈ S ( R ) an, f¨ ur welches M = {g ∈ S (R) | |g| ≤ |f |} nicht beschr¨ ankt ist.

2. (10P) Seien X und Y Hausdorffsche topologische R¨ aume und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, dass f genau dann stetig ist, wenn

α∈A

lim f (x

) = f

α∈A

lim x

f¨ ur jedes konvergente Netz (x

)

in X.

3. Es sei (A, ≤) die folgende geordnete Menge:

A = N , n ≤ m ⇔ n teilt m.

(a) (1P) Zeigen Sie, dass (A, ≤) gerichtet ist.

(b) (5P) Es sei µ

= 1, und f¨ ur n ∈ N \ {1} mit Primzerlegung n = Q

j=1

p

seien λ

= P

j=1

k

und µ

=

n

. Untersuchen Sie, ob das Netz (µ

)

konvergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls seinen Grenzwert.

Hinweis: Einige Beispiele: µ

=

, µ

= 1, µ

=

.

(c) (4P) µ

sei definiert wie in Teil (b). Untersuchen Sie, ob die Folge (µ

)

konvergiert, und bestimmen Sie gegebenenfalls ihren Grenzwert.

4. (10P) Es sei Ω ⊂ R

offen. Zeigen Sie, dass D

(Ω) schwach*-folgenvollst¨ andig ist.

Abgabe: Mo, 26.11.2018, in der Vorlesung Besprechung: 5. Dezember