W. Werner und T. Timmermann SS 13 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II
Blatt 10
Abgabe bis Freitag, 28. Juni, 12 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung
Aufgabe 1. Wir betrachten die Polarkoordinatentransformation F :R3 →R3, (r, θ, φ)7→(rsinθcosφ, rsinθsinφ, rcosθ).
(a) Geben Sie einen m¨oglichst großen Bereich an, auf dem F injektiv ist.
(b) Geben Sie (explizit) eine Teilmenge K ⊆R3 an mit F(K) =
(x, y, z)∈R3 :x2+y2+z2 ≤1, x2+y2 ≤z2, x≥0 . (c) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix von F.
(d) Berechnen Sie die Determinante det(F0(r, θ, φ)).
Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung Aufgabe 2. Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der Abbildung
G:R6 →R3, (v1, v2, v3, w1, w2, w3)7→v×w=
v2w3−v3w2
v3w1−v1w3 v1w2−v2w1
.
Aufgabe 3. Sei A∈Mn(R).
(a) Zeigen Sie: F¨ur allet 6= 0 gilt det(En+tA) = tn·χA −1t .
(b) Schlussfolgern Sie aus (a) und Satz 17: Die Richtungsableitung der Deter- minante an der Stelle En in Richtung A ist Sp(A), also
limt→0
det(En+tA)−det(En)
t = Sp(A).
Aus (b) folgt, dass det an En stetig differenzierbar ist mit det0(En) = Sp. Wir identifizieren nun Mn(R) mit Rn
2 via (αij)i,j 7→(α11, . . . , α1n,. . . , αn1, . . . , αnn).
(c) Zeigen Sie: Das Standard-Skalarprodukt auf Rn
2 entspricht dem durch hX, Yi= Sp(X>Y) definierten Skalarpodukt auf Mn(R).
(d) Zeigen Sie: Bez¨uglich des Produktes aus (c) gilt grad det(En) =En. Aufgabe 4. Seien g1 :R3 7→R3, g2 :R7→R3 und f :R3 7→Rdefiniert durch
g1(u, v, w) := (v+w, u+w, u+v), g2(t) := (cos2t,sin2t, t2), f(x, y, z) :=z(x+y).
(a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen von g1, g2 und f.
(b) Berechnen Sie die Jacobi-Matrizen vonf◦g1 undf◦g2 (ohne Kettenregel).
(c) Pr¨ufen Sie, dass (f◦g1)0(u, v, w) =f0(g1(u, v, w))g10(u, v, w) und (f◦g2)0(t) = f0(g2(t))g20(t).
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