Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 2019
Blatt 3 Aufgabe 12
Uberpr¨¨ ufen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und beweisen Sie die Richtig- keit Ihrer Antwort:
(a)
∞
X
n=1
100n
n! (b)
∞
X
n=1
√1
n (c)
∞
X
n=1
1 n√
n+ 1 (d)
∞
X
n=1
n2−n (e)
∞
X
n=0
xn
n! mit x∈R (f)
∞
X
n=0
(−1)nx2n+1
(2n+ 1)! mit x∈R. Aufgabe 13
Berechnen Sie den Wert der Reihe
∞
X
n=1
(√
n+ 2−2√
n+ 1 +√ n).
Zusatzaufgabe 1
(a) Geben Sie eine reelle Folge an, die gegen √
2 konvergiert.
(b) Geben Sie eine Reihe an, die gegen 5 konvergiert.
(c) Geben Sie eine Reihe an, die konvergiert, so dass keine absolute Konvergenz vorliegt.
Zusatzaufgabe 2
Kreuzen Sie an, welche Aussagen wahr bzw. falsch sind. F¨ur jede korrekte Antwort gibt es 0,5 Punkte. F¨ur jede nicht korrekte Antwort gibt es 0,5 Punkte Abzug. Sie k¨onnen nicht weniger als 0 Punkte f¨ur diese Aufgabe erhalten.
F¨ur alle a, b, c, d∈R mit a < c und b < d gilt
|a−b|<|c−d|. wahr falsch
Jede konvergente Folge (an)⊂Rist beschr¨ankt. wahr falsch Jede Cauchy-Folge (an)⊂Q hat einen Grenzwert in Q. wahr falsch F¨ur jede konvergente Folge (an)⊂R
mit an> q ∈R f¨ur allen ∈Ngilt lim
n→∞an> q. wahr falsch
Falls die Folge (an)⊂R eine Nullfolge ist, so konvergiert
∞
P
n=1
an. wahr falsch
F¨ur 0<|x|<1 hat die Reihe
∞
P
n=0
xn den Grenzwert 1−x1 . wahr falsch
