Diplom{VPNumerik 26. Marz2007
Multiple-Choie-Test (20Punkte)
Bei jederMC-Aufgabeist mindestens eine Aussage korrekt. Wird dennoh bei einerMC-Aufgabe
keine einzige Aussage angekreuzt, gilt diese Aufgabe als niht bearbeitet und wird mit 0 Punkten
bewertet.
Ansonsten gibt es fur jede falshe Antwort 0:5 Punkte, und fur jede korrekte Antwort 0.5
Punkte,sodassmanproMC-Aufgabe 2bis2Punkteerreihenkann. DaausdemMC-TestalsGanzes
keinenegativenPunkteentstehendurfen,kannman bei10MC-Aufgabeninsgesamt zwishen 0und
20Punktenerreihen.
UmFluhtigkeitsfehlernvorzubeugen,sinddurhgangig nurkorrekte Aussagenanzukreuzen.
MC1KreuzenSie allekorrektenAussagenan.
DieSubtraktionzweiernahezugleihgroerZahlenistgutkonditioniert.
DieSubtraktionzweierbetragsmaigstarkuntershiedliherZahlenistgutkonditioniert.
DieDivisionzweiernahezugleihgroerZahlenistshlehtkonditioniert.
DieExponentialfunktione x
istgutkonditioniertfur allex2R.
MC2KreuzenSie allekorrektenAussagenan.
IndreistelligerGleitpunktarithmetikmitStandardrundungerhaltmanalsErgebnisvon1+510 3
denWert1:01.
Invierstelliger Gleitpunktarithmetikmit Standardrundungerhalt man alsErgebnis von 1+10 4
denWert1:0001.
Unter VerwendungderStandardrundungsindrelativeRundungsfehlerstets kleineralsdie relative
Mashinengenauigkeit.
DierelativeMashinengenauigkeitistderQuotientausderbetragskleinstenundderbetragsgroten
Mashinenzahl.
MC3. Mitx;x~2R undderzweimaldierenzierbarenFunktionf :R!R seienr
x :=
~ x x
x
undr
f :=
f(~x) f(x)
f(x)
die relativen Fehlerder Ein-undAusgabe, undesgelten dieDenitionen
rel (x):=
xf
0
(x)
f(x)
sowie
rel;1 (x):=
x
f(x)
sup
2R jf
0
()j. KreuzenSieallekorrektenAussagenan,wobeix6=0,f(x)6=0
sowie
rel;1
(x)<1vorausgesetztsei.
r
f
rel (x)r
x
giltstetsfur allex2R.
r
f
rel (x)r
x
giltnurinersterNaherungbezuglihx~ x.
r
f
rel;1 (x)r
x
giltstetsfurallex2R.
r
f
rel;1 (x)r
x
giltnihtunbedingtfurallex2R.
MC 4. Mitb;
~
b;x;x~2R n
undA;
~
A2 R nn
sowieAx =b und
~
A~x =
~
b seien r
b :=
k
~
b bk
kbk , r
x :=
k~x xk
kxk
undr
A :=
k
~
A Ak
kAk
die relativenFehler derrehten Seite,der Losungund der Matrix, undes gelten die
Denitionen
A
:=kAkkA 1
ksowieh:= k
~
A AkkA 1
k. Hierbei seikkeine Vektornorm auf R n
bzw. die zugehorigeMatrix{Normauf R nn
, undesseikbk;det(A)6=0vorausgesetzt. KreuzenSie alle
korrektenAussagenan.
Esgiltstetsr
x
A r
A +r
b
1 h .
r
x
A rA+rb
1 h
giltstets,wenn h<1gilt.
k~x xkkAk 1
k
~
b bkgiltstets,wennh=0gilt.
1
~
mus kannmittels Zeilenaquilibrierung bzw. Pivotisierung erweitert werden. Kreuzen Sie allekorrekten
Aussagenan.
DurhZeilenaquilibrierungverringertsihderRehenaufwanddesGau-Algorithmus.
BeiexakterRehnungistderGau-AlgorithmusmitPivotisierungfureindeutiglosbarelineareGlei-
hungssystemestetsdurhfuhrbar.
DieZeilenaquilibrierungistinderkk
1
-NormdieoptimaleDiagonalskalierung.
PivotisierungverbessertdieKonditiondesGau-Algorithmus.
MC6. Mitmitm>nundA2R mn
,x2R n
,b2R m
solldaslineare AusgleihsproblemkAx bk
2
!
min
x2R
gelostwerden. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
Die Normalgleihungentragen ihren Namen, weil dasdamit berehneteResiduum senkrehtauf b
steht.
Wegen
2 (A
T
A)=
2 (A)
2
sinddieNormalgleihungenfurdienumerisheLosunggroerGleihungs-
systemebesondersgeeignet.
ImGegensatzzuGivens-RotationenlasstsihmitHouseholder-SpiegelungendasResiduumkAx bk
2
niht direktausdem transformierten Systemablesen, sondernman muss erstAx b explizitaus-
rehnen.
Bei derVerwendung einerQR -Transformation(Givens/Householder)mussdie MatrixQ niht ex-
plizitaufgestelltwerden,umdieLosungxzuerhalten.
MC7. Dasskalarebzw. vektorwertigeNullstellenproblemf(x)=0solliterativgelostwerden. Hierbei
seikx
k x
kdieNormdesFehlersinIterationsshrittk. KreuzenSieallekorrektenAussagenan.
DieKonvergenzordnungp1bedeutet,dasssihkx
k x
kvonIterationzuIterationasymptotish
jeweilsumdenFaktorpverringert.
DieKonvergenzordnungp1bedeutet,dasssihdieAnzahl korrekterStellen (d.h. derLogarith-
musvonkx
k x
k) vonIterationzuIterationasymptotishjeweilsumden Faktorpvergrossert.
BeimBisektionsverfahrenfur skalareNullstellenprobleme liegt imGegensatzzumFixpunktverfah-
rendiegesuhteNullstellestetszwishendemneuenIterationswertx
k
unddemaltenIterationswert
x
k 1 .
Die standige Wiederverwendung einer zuvor durhgefuhrten LR -Zerlegung der Jaobi-Matrix be-
shleunigtdasmodizierteNewton-Verfahren.
MC 8. Eineskalare Funktion f(x) sollmittelsInterpolationanvershiedenenStutzstellen im Intervall
IR durheinPolynomp(x)approximiertwerden. KreuzenSieallekorrektenAussagen an.
Mitdem bekanntenWerty berehnetdasNeville-Aitken-Verfahrenden Wertp(y),ohnedasPoly-
nomp(x)allgemeinfurbeliebigexaufzustellen.
SetztmandenbekanntenWerty indasNewtonpolynomp(x)ein,erhaltmannihtden Wertp(y),
dendasentsprehendeNeville-Aitken-Shemaliefert.
DieNewton-InterpolationliefertdasselbeInterpolationspolynomwiedieLagrange-Interpolation.
FurjedeausreihendoftstetigdierenzierbareFunktionf(x)kannmanden Fehlermax
x2I jf(x)
p(x)jbeliebigklein mahen,indemmaneinfahdie AnzahlderaquidistantenInterpolationspunkte
inI grogenugmaht.
MC 9. Das Integral I :=
R
b
a
f(x)d x soll numerish approximiert werden. Kreuzen Sie alle korrekten
Aussagenan.
Newton-Cotes-Formeln basieren auf der Integration des Interpolationspolynoms zu
aquidistanten
Stutzstellen.
DieSimpsonregel(3Stutzstellen)istexakt,fallsf(x)einquadratishesPolynomist.
BeiGau-QuadraturformelnsinddieStutzstellen imallgemeinenniht
aquidistant.
Unabhangig vonf(x) ist eine Gau-Quadraturformelstets genauerals eineNewton-Cotes-Formel
mitderselbenStutzstellenanzahl.
DasNewton-Verfahren(Nullstellensuhe)lasstsih alsFixpunktiterationformulieren.
DasLevenberg-Marquardt-VerfahrenlasstsihnihtalsFixpunktiterationformulieren.
Beim Gau-Newton-Verfahren hat das linearisierte Ausgleihsproblem in jedem Iterationsshritt
stetseineeindeutigeLosung.
BeimLevenberg-Marquardt-Verfahrenhatdaslinearisierte Ausgleihsproblemin jedemIterations-
shrittstetseineeindeutigeLosung.
Aufgabe 1 (11Punkte)
a) Essei
A= 0
B
B
3 3 0 9
3 5 4 9
0 4 17
2
0
9 9 0 31
1
C
C
A :
BestimmenSiedieCholesky-ZerlegungA=LDL T
. GebenSie dieMatrizenLundD explizitan.
(Berehnung
uberLR -Zerlegunggibt0Punkte!)
b) FurwelheWertevonistApositivdenit?
) FurwelheWertevonistA T
A positiv denit?
d) BestimmenSiedieDeterminantevonAfur=2.
e) Esseinun
L= 0
B
B
1 0 0 0
3 1 0 0
0 5 1 0
2 2 1 1
1
C
C
A
; D=
0
B
B
2 0 0 0
0 1 0 0
0 0 3 0
0 0 0 2 1
C
C
A
; b= 0
B
B
2
12
36
24 1
C
C
A :
LosenSie daslineareGleihungssystemLDL T
x=b.
(Berehnung
uberLR -Zerlegunggibt0Punkte!)
Aufgabe 2 (10Punkte)
a) GegebenseidaslineareAusgleihsproblem
0
B
B
3 1
0 2
0 0
4 1 1
C
C
A
a
b
+ 0
B
B
1
2
2
1 1
C
C
A
2
! min
a;b2R
Losen SiediesesmittelsGivens-Rotationen. BestimmenSie anshlieenddiekk
2
-NormdesResi-
b) UnabhangigvonTeila)sollnundieFunktion y(t):=Aln t
imSinneminimalerFehlerquadrate
andieMesswerteausfolgenderTabelleangepasstwerden:
t
i
1 2 3 5
y
i
1 0 1 2 :
i) FormulierenSie dieseAufgabealsnihtlinearesAusgleihsproblem in Abhangigkeitder Pa-
rameterA und durhexplizitesEinsetzenallerMesswerteausderTabelle.
ii) StellenSiedaslineareAusgleihsproblem,dassihimk-tenIterationsshrittdesGau-Newton-
Verfahrensergebenwurde,explizitaufinAbhangigkeitderIteriertenA
k und
k
durhEinsetzen
allerMesswerteausderTabelle.
iii) TransformierenSiedasursprunglihenihtlineareAusgleihsprobleminein
aquivalenteslinea-
resAusgleihsproblem, undgeben Sie diesesexplizit an durh Einsetzen aller Messwerteaus
derTabelle. Geben Sieauhden Zusammenhang zwishen den alten Parametern(A,)und
denneuenParametern(
~
A,~)explizitan.
Hinweis: Esgiltln
t
=ln (t) ln().
Aufgabe 3 (9Punkte)
Gegebenseidie2D-Fixpunktgleihung
0
B
B
x
y 1
C
C
A
= 0
B
B
y
4 +
(x y) 2
8
x
3 +
1
os
x+y
4
1
C
C
A
=:
0
B
B
F
1 (x;y)
F
2 (x;y)
1
C
C
A
=:F(x;y)
a) ZeigenSie, dassdieVoraussetzungendesFixpunktsatzesvonBanahfurden BereihE :=[0;1℄
[0;1℄erfulltsind. VerwendenSiediekk
1 -Norm.
b) Fuhren Sie ausgehend vom Startwert (x
0
;y
0
) := (0:2;0:3) zwei Fixpunktiterationen durh, d.h.
berehnenSie(x
2
;y
2 ).
) GebenSie einea-priori-undeinea-posteriori-Fehlerabshatzungfur (x
2
;y
2
) anunter Verwendung
derkk
1 -Norm.
d) WievieleIterationsshrittesindausgehend vomStartwert (x
0
;y
0
):=(0:2;0:3) hohstenserforder-
lih, umdenFixpunktin derkk
1
-NormbisaufeinenFehlervon":=10 3
anzunahern?
Aufgabe 4 (10Punkte)
GegebenseidasAnfangswertproblem
y 00
(t) ty 0
(t)+4t 2
y(t)=0; y(1)=1; y 0
(1)=2:
a) FormulierenSiedas
aquivalenteSystemersterOrdnung.
b) BestimmenSieeineNaherungfury 00
(5=4),indemSieeinenShrittmitdem verbessertenEulerver-
fahrendurhfuhren.
) BestimmenSieeineNaherungfur y 00
(9=8), indemSieeinenShrittmitder (impliziten)Trapezme-
thodedurhfuhren. Losen Siedas sih dabeiergebende lineare Gleihungssystemmit einerGau-
