Zeige, dass die Folge konvergiert

Philipps-Universit¨at Marburg Sommersemester 2015 Fachbereich Mathematik und Informatik

Prof. Dr. B. Schmitt, D. Lellek

5. Aufgabenblatt zur Mathematik II

Aufgabe 18 (Kontraktive Folgen) (3)

Es sei (an)n∈N0 eine beschr¨ankte Folge, sodass ein 0≤q <1 existiert mit

|a_n−am| ≤q|an−1−am−1|, n, m∈N.

Zeige, dass die Folge konvergiert.

Aufgabe 19 (Reihen mit alternierender Nullfolge) (4) Sei (ak)k∈N0 eine monoton fallende Nullfolge mit ak ≥ 0, k ∈ N. Zeige, dass die Reihe P∞

k=0(−1)^ka_k konvergiert. Hinweis: Zeige zun¨achst, dass f¨ur s_n =Pn

k=0(−1)^ka_k die Teilfolgen s_2n und s_2n+1 monoton und beschr¨ankt sind.

Aufgabe 20 (Konvergenz von Reihen) (8)

Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

(i) P∞ k=0 k

3^k

(ii) P∞ k=0 k²

k!

(iii) P∞ k=1 k^k

(2k−1)^k

(iv) P∞ k=1

k!

k^k

(v) P∞

k=1(−1)^k√1

k

Aufgabe 21 (Nullfolgen und konvergente Reihen) (4*) Die Folge (a_n)n∈N0 sei definiert durcha₀>0 und

a_n+1=

n

X

k=0

a_k

!−1

, n >0.

Zeige dass die ReiheP∞

k=0a_k divergiert, obwohl (a_n)n∈N0 eine Nullfolge ist.

Die mit einem * markierten Punktzahlen sind Bonuspunkte.

Abgabe: Freitag, 29.05.15, vor der Vorlesung.