Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 10
Musterl¨osung zur Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. (a) (Raabesches Konvergenzkriterium) Sei (an)n eine Folge positiver reeller Zahlen, β >1 und c∈R sowie
an+1
an ≤1− β n+c f¨ur fast alle n. Zeigen Sie, dass die Reihe P
nan konvergiert. Bemerkung:
die Voraussetzungβ >1 ist wichtig, wie man an der divergenten ReiheP
n 1 n
erkennen kann. Hinweis: Man zeige nacheinander:
• Die Folge ((n+c)an+1)nist monoton fallend (zumindest ab einem gen¨ugend großen N).
• F¨ur fast allen gilt (β−1)an≤(n−1 +c)an−(n+c)an+1.
• F¨ur fast allen gilt (β−1)PM
n=N+1an≤(N +c)aN L¨osung: Die Ungleichung liefert
(n+c)an+1 ≤(n+c−β)an≤(n+c−1)an, also f¨allt ((n+c)an+1)n. Wir erhalten außerdem
(β−1)an≤(n+c−1)an−(n+c)an+1
und durch Aufsummieren f¨ur n=N + 1 bisM
(β−1)
M
X
n=N+1
an≤(N +c)aN −(M +c)aM+1 ≤(N +c)aN.
Nun k¨onnen wir M gegen unendlich gehen lassen und finden, dass die Reihe konvergiert.
(b) Zeigen Sie, dass die binomische Reihe aus Aufgabe 3 im Falls >0 auch f¨ur x=±1 konvergiert.
L¨osung: Mit an := ns
gilt f¨ur große n
an+1 an
= n−s
n+ 1 = 1− s+ 1 n+ 1
und wir k¨onnen das Raabesche Konvergenzkriterium anwenden.
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