Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 5
Abgabe bis Do, 20.11., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Bestimmen Sie alle H¨aufungspunkte der Folge 1,1
2,1,1 2,1
3,1,1 2,1
3,1 4,1,1
2,1 3,1
4,1 5,1,1
2,1 3,1
4,1 5,1
6,1,1 2,1
3,1 4,1
5,1 6,1
7,1. . . und der Folgen (bn)n und (cn)n, gegeben durch
bn = 1 + (−1)nn2
3n+n2 , cn=
1 + 2−n, n = 3k 2 + n+1n , n = 3k+ 1 2, n = 3k+ 2 Aufgabe 2. Sei (an)n eine Folge reeller Zahlen.
(a) Seia∈R so, dass jede Teilfolge von (an)neine Teilfolge besitzt, die gegen a konvergiert. Zeigen Sie, dass dann auch (an)n gegen a konvergiert.
(b) Sei (an)n beschr¨ankt. Zeigen Sie, dass die Folge (an)n genau dann kon- vergiert, wenn sie genau einen H¨aufungspunkt hat.
Aufgabe 3. Sei a > 0 und 0 < x0 < 1a sowie xn+1 := xn(2− axn) f¨ur alle n ∈ N0. Zeigen Sie induktiv, dass die Folge (xn)n monoton w¨achst und nach oben beschr¨ankt ist durch a1. Begr¨unden Sie, warum die Folge konvergiert, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
(Hinweis: Welche Gleichung muss der Grenzwert erf¨ullen?)
Aufgabe 4. Sei p ≥ 2 eine nat¨urliche Zahl und bn ∈ {0, . . . , p −1} f¨ur alle n ∈ N. Zeigen Sie, dass dann die Folge der Summen sN := PN
n=1bnp−n gegen eine Zahl s ∈ [0,1] konvergiert. Was hat diese Aufgabe (f¨ur p = 10) mit der Dezimalbruchentwicklung reeller Zahlen zu tun?
Zusatzaufgabe 5. Es sei (an)neine Folge reeller Zahlen. Es sei (bk)keine weitere Folge, wobei jedes bk ein H¨aufungspunkt von (an)n sei. Es sei (bk)k selbst eine konvergente Folge. Zeigen Sie, dass dann auch limk→∞bk ein H¨aufungspunkt von (an)n ist.
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