Zeigen Sie, dass Hn− eine n-dim

J. Wengenroth SS 2015

T. Schlierkamp 01.07.2015

Differentialgleichung Ubungsblatt 10¨

Abgabe: Mittwoch, 08.07.2015 bis 8:30 Uhr, ¨Ubungskasten 5 Ubungen: Mittwoch, 08.07.2015, 8:30-10:00 Uhr und 10:15-11:45 Uhr, E45¨

Aufgabe 37 (5 Punkte)

Es sei H_n⁻:={x∈Rⁿ⁺¹:kxk= 1, xn+1≤0}.

Skizzieren SieH_n⁻ f¨urn= 1 inR² sowie f¨urn= 2 inR³.

Zeigen Sie, dass H_n⁻ eine n-dim. Mfk. ist und bestimmen Sie den Rand ∂H_n⁻. Zeichnen Sie den Rand ebenfalls in Ihrer Skizze ein.

Aufgabe 38 (3 Punkte) Skizzieren Sie die Mengen

D:={x∈R² :kxk ≤1}und R²\D:={x∈R²:kxk ≥1}

jeweils in [−2,2]² und bestimmen Sie in beiden F¨allen (graphisch) den Durchlauf- sinn des Einheitskreises (bzgl. der Standardorientierung or(e1, e2)).

Aufgabe 39 (5 Punkte)

Seien M ⊆R^m einen-dim. randloseC^k-Mfk. und x∈M. Zeigen Sie, dass f¨ur M_x:={ϕ⁰(0)∈R^m:∃ε >0, ϕ∈C¹(]−ε, ε[, M) mit ϕ(0) =x}

die GleichheitT_xM =M_x gilt.

Geben Sie eine Vermutung an, wie die Menge M_x aussehen m¨usste, damit die Gleichheit f¨ur einen Randpunkt x∈∂M im Falle einer berandeten Mfk.M gilt.

Hinweis:

”⊇“ Stellen Sie ϕ⁰(0) als LK von Basisvektoren vonT_xM dar.

Aufgabe 40 (7 Punkte)

L¨osen Sie folgende AWPs und geben Sie maximale L¨osungsintervalle an:

(a) u⁰ =t√

u, u(1) = 1;

(b) u⁰ =−2tu+e^t2u², u(0) =u0 ∈ {−1,1};

(c) u⁰ = ^{t exp(u/t)+u}_t , u(1) =−1.