PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 1¨
Diese Aufgaben sollen in der Woche vom 18. bis 22. April in den ¨Ubungen besprochen werden und sind nicht abzugeben. Die L¨osungen zum ¨Ubungsblatt 2 sind dann bis zum 22. April abzugeben.
Aufgabe 1. Wir nennen eine TeilmengeU ⊆N∪ {∞} offen genau dann, wenn
∞ 6∈U oder {n∈N:n≥n0} ⊆U f¨ur einn0∈N.
(a) Zeigen Sie, dass diese offenen Mengen eine Topologieτ auf N∪ {∞}bilden.
(b) Sei f:N∪ {∞} → R definiert durch ∞ 7→0 und n 7→ n1 f¨ur alle n ∈ N. Zeigen Sie, dassf−1((a, b)) f¨ur beliebigea < b offen ist, und folgern Sie, dassf stetig ist.
(c) Pr¨ufen Sie, welche Folgen inN∪ {∞} konvergieren.
Aufgabe 2. Seienk · kundk · k0 zwei Normen aufRn. Zeigen Sie, dass die zugeh¨origen Metriken dundd0 aufRn, gegeben durch
d(x, y) =kx−yk und d0(x, y) =kx−yk0 f¨ur allex, y∈Rn,
dieselbe Topologie erzeugen. Nutzen Sie daf¨ur aus, dass je zwei Normen auf Rn
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aquivalent sind.
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