Prof. Dr. M. Rapoport WS 2007/08 Dr. E. Viehmann
Gruppen, Ringe, Moduln 3. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 1:
a) Zeigen Sie, dass die Produktgruppe Z/mZ×Z/nZ genau dann zyklisch ist, wenn m und n teilerfremd sind. Beweisen Sie damit folgenden Satz. Sind m, n zueinander prime ganze Zahlen und sindu, v∈Zbeliebig, so gibt es einx∈Zmitx≡u(mod m),x≡v (mod n).
b) Sei Geine Gruppe. SeienN1, . . . , Nk Normalteiler vonGmit N1∩N2∩. . .∩Nk={e}.
SetzeHi=G/Nif¨uri= 1, . . . , k. Zeigen Sie, dassGzu einer Untergruppe vonH1×. . .×Hk
isomorph ist.
Aufgabe 2:
Sein≥3 eine nat¨urliche Zahl. Betrachten Sie das regelm¨aßigen-Eck in der euklidischen EbeneR2 gebildet von den Punkten x1, ..., xn ∈R2mit
xi =
cos(2πin ) sin(2πin )
f¨ur 1≤i≤n.
Sei D2n die Untergruppe der orthogonalen GruppeO(2) gegeben durch
D2n ={g∈O(2)| f¨ur allei∈ {1, ..., n}existiert einj ∈ {1, ..., n}mitgxi=xj},
d.h.D2nist die Symmetriegruppe des regelm¨aßigenn-Ecks. Die GruppeD2n heißt die Diedergrup- pe der Ordnung 2n.
Zeigen Sie:
a) D2n wird erzeugt von σ=
cos(2πn) −sin(2πn) sin(2πn) cos(2πn )
und τ =
1 0
0 −1
.
b) Die vonσerzeugte Untergruppe inD2nist ein Normalteiler der Ordnungnund die Ordnung vonD2n ist 2n.
c) SeiGeine Gruppe erzeugt von zwei Elementena, b∈Gmit orda=n,
ordb= 2, bab=an−1. Dann istGisomorph zuD2n.
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Aufgabe 3:
Bestimmen Sie alle Untergruppen der Ordnung 4 in der GruppeS4. Welche davon sind sogar nor- mal in S4? Zeigen Sie, dassS4 aufl¨osbar ist.
Aufgabe 4:
Jedes Element σ ∈Sn l¨aßt sich bis auf Reihenfolge eindeutig als Produktπ1. . . πr von element- fremden Zykeln schreiben. Sei `i die L¨ange vonπi, und seien dieπi so geordnet, daß`i≥`i+1 f¨ur alle i < r. Dann heißt das Tupel (`1, . . . , `r) der Zykeltyp vonσ.
a) Zeigen Sie, daß zwei Elementeσ, σ0 ausSngenau dann konjugiert sind, wenn ihre Zykeltypen
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ubereinstimmen.
b) Bestimmen Sie die Menge der Konjugationsklassen vonS5und die Anzahl der Elemente jeder Klasse. ¨Uberpr¨ufen Sie f¨ur dieses Beispiel die Klassengleichung.
Abgabe: Montag, 5. November 2007.
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