a) Zeigen Sie, dass die Oberfl¨ ache der N -dimensionalen Einheitskugel durch Z

P21 Statistische Physik WS 17/18 Prof. Jan Plefka Ubungsserie 3 ¨

Abgabe der Haus¨ ubungen am Mittwoch 08.11 Pr¨ asenz¨ ubungen

P3.1 - Oberfl¨ ache der N -dimensionalen Einheitskugel

a) Zeigen Sie, dass die Oberfl¨ ache der N -dimensionalen Einheitskugel durch Z

dΩ _N = 2π ^N/2 Γ(N/2) gegeben ist, wobei Γ(n + 1) = R ∞

0 dt t e ^−t . Hierzu ist es hilfreich das N -dimensionale Gaußin- tegral einerseits mittels Faktorisierung

Z ∞

−∞

dx ₁ dx ₂ . . . dx _N e ^−x

^−x

^...−x

N

Y

i=1

Z ∞

−∞

dx _i e ^−x

= √ π ^N

und andererseits durch das Oberf¨ ache O _N der N -dimensionalen Einheitskugel auszudr¨ ucken.

b) Zeigen Sie ausgehend von V ₃ = ^4π ₃ , dass Γ( n

2 + 1) = r π

2 ⁿ⁺¹ n!! n ungerade gilt. Hierbei ist die Doppelfakult¨ at als n!! = 1 · 3 · 5 · . . . n definiert.

P3.2 - Unbestimmtheitsmaß nach Shannon

Es sei bekannt, dass in Adlershof am 1. Juni 2018 die Wahrscheinlichkeit f¨ ur Regen 0.4 und f¨ ur keinen Niederschlag 0.6 ist. Am 1. Januar 2018 hingegen betr¨ agt die Wahrscheinlichkeit f¨ ur Regen 0.65, f¨ ur Schneefall 0.15 und f¨ ur keinen Niederschlag 0.2. An welchem der beiden Tage ist eine Wetterprognose unbestimmter (im Sinne des Shannon’schen Unbestimmtheitsmaß (auch bekannt als Entropie), wenn man unter einer Wetterprognose die Angabe versteht

a) ob es an den fraglichen Tagen regnet, schneit oder keinen Niederschlag gibt?

b) ob es an den fraglichen Tagen Niederschlag gibt oder nicht.

Diskutieren Sie Ihr Ergebnis!

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Haus¨ ubungen

H3.1 - Volumen und Oberfl¨ achen in hohen Dimensionen [2P]

Eine ¨ uberraschende und f¨ ur die Statistische Physik sehr wichtige Tatsache ist: Fast das gesamte Volumen eines hochdimensionalen K¨ orpers liegt unmittelbar unter seiner Oberfl¨ ache. Im Hinblick auf den Phasenraum von Vielteilchensystemen denken wir an Raumdimensionen der Gr¨ oßenord- nung 3N mit N ∼ 6 · 10 ²³ (Avogadro-Zahl). Wir wollen speziell Volumina und Oberfl¨ achen von Kugeln und W¨ urfeln betrachten.

a) F¨ ur das Volumen einer N -dimensionalen Kugel oder W¨ urfel gilt V _N (L) = L ^N · V _N (1), wobei L den Radius bzw. Kantenl¨ ange bezeichnet. Zeigen Sie f¨ ur beliebiges festes κ

N→∞ lim

V _N (L) − V _N (L − κ _N ^L )

V N (L) = 1 − e ^−κ und diskutieren Sie dieses Ergebnis.

b) Begr¨ unden Sie folgende Zusammenh¨ ange f¨ ur die Oberfl¨ ache O und Volumen V einer Kugel bzw. W¨ urfels in N Dimensionen

d

dR V _N (R) = O _N (R) d

dL V _N (L) = 1

2 O _N (L)

Ausehend von V _N (L) = L ^N und V _N (R) ∝ R ^N zeigen Sie, dass f¨ ur die Oberfl¨ ache des N- dimensionalen Einheitsw¨ urfels O _N (1) = 2N gilt sowie der Zusammenhang V _N (R) = _N ^R O _N (R) folgt. Was bedeutet dies f¨ ur große N anschaulich?

H3.2 - Sattelpunktsmethode [1P]

Wir betrachten eine Klasse von mehrdimensionalen Integralen der Form I =

Z ⁿ Y

i=1

dx _i exp h

−N S(x ₁ , . . . , x _n ) i

im Grenzfall N → ∞ bei festem n. In diesem Grenzfall ist der Wert von I dominiert durch die Sattelpunkte {x ^c _i } die

∂S

∂x _i (x ^c ₁ ,x ^c ₂ , . . . , x ^c _n ) = 0

erf¨ ullen. W¨ ahlt man hier den dominantesten Sattelpunkt ~ x ^c aus, so l¨ asst sich das Integral per- turbativ in einer Entwicklung von Potenzen in 1/ √

N l¨ osen, indem man die Entwicklung um den Sattelpunkt

~ x = ~ x ^c + ~ y/ √ N ansetzt.

a) Finden Sie diese L¨ osung f¨ ur I in f¨ uhrender Ordnung indem Sie S bis zum quadratischen Term in ~ y entwickeln und sch¨ atzen Sie den Fehler ab!

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b) ¨ Uberpr¨ ufen Sie das Verfahren indem Sie das Integral I(N ) =

Z ∞

−∞

dx e ^{−N (−x}

^+λx

⁾

mittels der Sattelpunktsmethode auswerten und mit einer numerischen Integration verglei- chen! (Achtung: Hier gibt es zwei gleich wichtige Sattelpunkte!)

H3.3 - Entropieerhaltung und Extremaleigenschaft [2P]

In der Vorlesung haben wir die Definition der Entropie durch den statistischen Operator ρ eines Ensembles mittels S = −k Sp(ρ log ρ) kennengelernt.

a) Zeigen Sie, dass die Entropie zeitlich konstant ist. Hier ist die Bewegungsgleichung von ρ, die von-Neumann Gleichung, zu benutzen.

b) Zeigen Sie weiterhin, dass von allen Ensembles deren Energie im Intervall [E,E + ∆] liegt, die Entropie des mikrokanonischen Ensembles maximal ist. Interpretieren Sie dies!

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