J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 15.11.2018
3. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A10: Es seien I 6=∅ eine Menge und p∈[1,∞). Wir setzen
`p(I,K) :=
(xα)α∈I ∈KI :X
α∈I
|xα|p <∞ .
Zeigen Sie: Ist X ein Hilbertraum ¨uber K und ist M ⊂X ein Orthonormalsystem, so ist (λe·e)e∈M summierbar in X f¨ur alle (λe)e∈M ∈`2(M,K).
A11: Es seien m das normierte Bogenmaß auf dem Einheitskreis S und f ∈C1(S). Wir setzen (Df)(z) := zf0(z) f¨ur z∈S. Zeigen Sie:
a) F¨ur alle k ∈Z istDfdk=kfbk.
Hinweis: Verwenden Sie partielle Integration in der Form Z
(Df)g dm=− Z
f(Dg)dm f, g ∈C1(S) .
b) P
k∈Z
|fbk|<∞.
A12: Es seiX ein perfekter metrischer Raum, d. h., jeder Punkt inX ist H¨aufungspunkt.
Beweisen Sie:
a) Jede abz¨ahlbare Menge in X ist von erster Kategorie.
b) Ist X vollst¨andig, so ist jede nichtleere offene Menge ¨uberabz¨ahlbar.
A13: a) Es sei X ein normierter Raum ¨uber K. Zeigen Sie: F¨ur A, B ⊂X und λ ∈ K gilt A+B ⊂A+B und λA =λA.
b) Finden Sie abgeschlossene MengenA, B ⊂R2 so, dass A+B nicht abgeschlos- sen ist.
