(b) Zeigen Sie: F¨ur die Matrix A

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 05.12.2016 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

7. ¨Ubungsblatt zur Numerik

Aufgabe 25:

(a) Sei A=LRdie LR-Zerlegung der (n×n)-MatrixA mit|l_ij| ≤1. Zeigen Sie, dass maxi,j |r_ij| ≤2ⁿ⁻¹max

i,j |a_ij|.

Hinweis: Verwenden Sie die Beziehungr^T_i =a^T_i −Pi−1

j=1l_ijr_j^T f¨ur die Zeilen a^T_i und r_i^T von A undR und Induktion.

(b) Zeigen Sie: F¨ur die Matrix

A=

















1 0 · · · 0 1

−1 1 . .. ... ... ... . .. ... 0 ...

−1 · · · −1 1 1

−1 · · · −1 1

















tritt Gleichheit in obiger Absch¨atzung auf.

Aufgabe 26: F¨ur welche c∈Rist die folgende Matrix A positiv definit?

A=





4 6 8

6 10 14 8 14 c





Aufgabe 27: Zeigen Sie:

cond(A) = max_kyk=1kAyk min_kzk=1kAzk.

Anmerkung: Mit Hilfe der rechten Seite l¨asst sich die Kondition auch f¨ur nichtquadratische Matrizen definieren.

Aufgabe 28: Es seiA∈R^m×n. Zeigen Sie, dass f¨ur die zur Betragssummen- und zur Maximums- norm geh¨orenden Matrixnormen gilt:

(a) kAk₁ = maxj=1,...,nPm

i=1|a_ij|(maximale Spaltenbetragssumme) (b) kAk_∞= maxi=1,...,mPn

j=1|a_ij|(maximale Zeilenbetragssumme) (c) ^√1_nkAk_∞≤ kAk₂≤√

mkAk_∞

Besprechung in den ¨Ubungen am 13.12.2016 Ansprechpartnerin: Sarah Eberle,

eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde: Donnerstag 9-10 Uhr