17. (a) Zeigen Sie f¨ ur ζ ∈ C

(1)

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 21.05.2019 Blatt 7

Ubungen zur Komplexen Analysis ¨

17. (a) Zeigen Sie f¨ ur ζ ∈ C

∂ζ

∂ζ = ∂ζ

∂ζ = 1, ∂ζ

∂ζ = ∂ζ

∂ζ = 0.

(b) Zeigen Sie f¨ ur n, m ∈ N

0

∂

ζ

ⁿ

ζ

^m

∂ζ = nζ

ⁿ⁻¹

ζ

^m

,

∂

ζ

ⁿ

ζ

^m

∂ζ = mζ

ⁿ

ζ

^m−1

.

Hinweis: Die erste Aussage muss auf die Definition zur¨ uckgef¨ uhrt werden, die zwei- te auf die erste.

18. Zeigen Sie, dass B := n z ∈ C

ⁿ

P

n

j=1

|z

_j

|

²

< 1 o

die Levi-Bedingung erf¨ ullt.

Hinweis: Da B konvex ist, ist klar, dass B pseudokonvex ist. (Wie l¨ auft dieses Argument genau?) Die Levi-Bedingung soll aber direkt nachgerechnet werden.

Aufgabe 17 erspart etwas Schreibarbeit.

19. Eine Abbildung ist biholomorph, wenn sie holomorph und bijektiv ist und ihre Inverse ebenfalls holomorph ist.

Zeigen Sie, dass die Eigenschaft, pseudokonvex zu sein, invariant unter biholomor- phen Abbildungen ist.

Besprechung: 27. Mai