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Übungsblatt zur Analysis I Aufgabe 25: Zeigen Sie, dass die Folge (sn) mit sn= 2n n+ 2+ 2−n gegens= 2 konvergiert

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Academic year: 2022

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Universität Tübingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 30.11.2020

5. Übungsblatt zur Analysis I

Aufgabe 25: Zeigen Sie, dass die Folge (sn) mit

sn= 2n

n+ 2+ 2−n

gegens= 2 konvergiert. Bestimmen Sie dann zu ε= 10−6, eine ZahlN, so dass |sn−s|< ε fürn≥N. Aufgabe 26: Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 10, dass die Folge

an= (1 + 1 n)n

eine Cauchy–Folge ist. Geben Sie dann für ε = 10−5 eine ganze Zahl N an, so dass |an−an+k| < ε für n≥N und k≥1 ist.

Aufgabe 27: Weisen Sie nach, dass das Produkt reeller Zahlen wohldefiniert ist. Zeigen Sie hierzu zunächst, dass falls (an) und (bn) Cauchy-Folgen sind, auch die Produktfolge (anbn) eine Cauchyfolge ist.

Zeigen Sie dann, dass aus(an)∼(a0n)und (bn)∼(b0n) die Äquivalenz von(anbn)und (a0nb0n) folgt.

Aufgabe 28: Zeigen Sie, dass die reelle <–Relation wohldefiniert ist.

Aufgabe 29: Zeigen Sie, dass die reelle <–Relation vollständig ist.

Aufgabe 30: Zeigen Sie: Ist s= (sn)∈R, so ist|s|= (|sn|).

Abgabe über URM bis zum 07.12.2020, 12:00

Besprechung in den Übungen vom 09.12.-11.12.2020.

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