J. Müller WS 2017/2018 20.10.2017
1. Übung zur Elementaren Zahlentheorie und Algebra
Aufgaben
A1: Sind X eine Menge und P(X) := {A : A ⊂ X}, so sind ∩ und ∪ assoziative und kommmutative Verknüpfungen auf P(X).
a) Existieren inP(X)neutrale Elemente bezüglich ∩ bzw. ∪?
b) Welche Elemente sind gegebenenfalls invertierbar bezüglich∩ bzw. ∪?
A2: Zeigen Sie: Für n≥3 ist (Sn,◦) nicht abelsch.
A3: Es sei(M,·, e)ein Monoid. Zeigen Sie: Existiert zu jedemx∈M ein Rechtsinverses, so ist (M,·, e) eine Gruppe.
A4: Zeigen Sie: Sinda, b∈Z, a6= 0, so sindq undr aus der Division mit Rest eindeutig bestimmt, d. h. gilt
b =qa+r=q0a+r0
mit q, q0 ∈Z, r, r0 ∈ {0, . . . ,|a| −1}, so ist q=q0 und r =r0.
A5: Fürm ∈Nsei
Gm :={z ∈C:zm = 1}.
a) Zeigen Sie, dass(Gm,·,1) eine m-elementige Gruppe ist (wobei · die Multipli- kation in Cist).
b) Ist auch S
m∈N
Gm,·,1
eine Gruppe?
