Aufgabe 24 : Zeigen Sie, dass die Folge (sn) mit sn= 2n n+ 2+ 2−n gegen s = 2 konvergiert

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 11.11.2008 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

5. ¨Ubungsblatt zur Analysis I

Aufgabe 23 :

a) Untersuchen Sie, welche der Folgen mit n-tem Term 2−¹_n

1 +³_n , 2n−1

n+ 2 , (−1)ⁿn+ 1

n+ 2 , 2n+ (−1)ⁿ

n+ 2 , n²−1 n+ 2 konvergieren, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

b) Geben Sie Folgen (sn) und (vn) mit sn→ ∞ und vn →0 zu jeder der folgenden Situationen an:

s_nv_n→ ∞; s_nv_n→c∈R; s_nv_nbeschr¨ankt, aber nicht konvergent . Aufgabe 24 :

Zeigen Sie, dass die Folge (s_n) mit

sn= 2n

n+ 2+ 2⁻ⁿ

gegen s = 2 konvergiert. Bestimmen Sie zu einem gegebenen ε > 0, etwa ε= 10⁻⁶, eine Zahl N, sodass|s_n−s|< εf¨urn≥N.

Aufgabe 25 :

(Ces`aro–Summierung) Zur Folge (an) betrachte man die Folge

b_n= 1 n

n

X

j=1

a_j .

Zeigen Sie: Falls (a_n) konvergiert, so konvergiert (b_n) gegen denselben Grenzwert.

Bemerkung: Das Beispiel an = (−1)ⁿ zeigt Ihnen, dass (bn) konvergieren kann, ohne dass (an) konvergiert.

Aufgabe 26 :

Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 8, dass die Folge an= (1 + 1

n)ⁿ

eine Cauchy–Folge ist. Geben Sie f¨ur ε= 10⁻⁵ eine ganze Zahl N an, sodass |a_n−a_n+k|< ε f¨ur n≥N undk≥1 ist.

Aufgabe 27 :

Zeigen Sie, dass die Folge

sn=

n

X

j=1

1 j(j+ 1)(j+ 2) eine Cauchy–Folge ist, und bestimmen Sie ihren Grenzwert.

Hinweis: Bestimmen SieA,B und C, sodass j(j+1)(j+2)¹ = ^A_j +_j+1^B +_j+2^C (Partialbruchzerlegung) Aufgabe 28 :

Folgern Sie aus der Dreiecksungleichung, dass f¨ura, b∈R

|a−b| ≥

|a| − |b|

.

Abgabe in der Vorlesungspause am 18.11.2008, Besprechung in den ¨Ubungen