Harmonische Kette: (a) Bewegungsgleichungen: Die Lagrange-Funktion lautet L(un, sn,u˙n,s˙n) =T −U, wobei U = K 2 X n (un−sn)2 +G 2 X n (un+1−sn)2, d dt ∂L ∂u˙n = ∂L ∂un , d dt ∂L ∂s˙n = ∂L ∂sn , T = 1 2mX n

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theoretische Festk¨orperphysik

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 10

Prof. Dr. G. Sch¨on L¨osungsvorschlag zu Blatt 8

Dr. J. Cole 18.06.2010

1. Harmonische Kette:

(a) Bewegungsgleichungen: Die Lagrange-Funktion lautet L(un, sn,u˙n,s˙n) =T −U, wobei U = K

2 X

n

(un−sn)² +G 2

X

n

(un+1−sn)²,

d dt

∂L

∂u˙n

= ∂L

∂un

, d dt

∂L

∂s˙n

= ∂L

∂sn

, T = 1 2mX

n

[ ( ˙un)²+ ( ˙sn)²]

⇒ mu¨_n = −K(u_n−s_n)−G(u_n−s_n−1) m¨sn = −K(sn−un)−G(sn−un+1) Ansatz:

un(t) = u e^i(kx−ωt)

sn(t) = s e^i(kx−ωt) , x=n a Periodische Randbedingungen:

un+N =un ⇒ e^{ikN a} = 1 ⇒ k= 2π a

m

N , m= 0,±1,±2, . . .

Eindeutigkeit der L¨osung: Der Phasenfaktore^iknaist f¨ur zweik, die sich umG= ^2π_al unterscheiden, gleich:

e^ikna=e^i(k+G)na , G= 2π

a l , l= 0,±1,±2, . . . Daher muß k eingeschr¨ankt werden auf

k = 2π a

m

N , m= 0,1,2, . . . ,(N −1) oder alternativ:

m= (−N/2 + 1),(−N/2 + 2), . . . ,−1,0,1, . . . ,(N/2) ⇔ −π

a < k ≤ π a

Ansatz in Bewegungsgleichungen einsetzen:

[mω²−(K+G) ]u+ [K+G e^−ika]s = 0 [K+G e^ika]u+ [mω²−(K+G) ]s = 0

g=1

g=0.5

ka/π

(+)

(−)

(−) (+)

0 0.5 1 1.5 2

−0.5 0

0.5 1 1.5 2

−0.5 0.5

−1 0 0.5 1

1 0

−1

Abbildung 1: Die Dispersion von optischer (+) und akustischer (−) Mode f¨ur unterschiedliche Federn G = 0.5K (unten) und identische Federn G = K (oben). F¨ur K = G verschwindet die optische Mode bzw. geht in die zur¨uckgefaltete akustische ¨uber.

(b) Nichttriviale L¨osung f¨ur

[mω²−(K+G) ]²−(K+Ge^−ika)(K+Ge^ika) = 0

⇒ mω² = (K+G)±p

K²+G² + 2KGcos(ka)

Die zugeh¨origen Moden werden bestimmt durch die L¨osung des Gleichungssystems:

⇒ s

u = −[K+Ge^ika]

mω²−(K +G) =∓ [K +Ge^ika]

pK²+G²+ 2KGcos(ka) Interessant ist jetzt der Grenzfallk →0 :

k ≪π/a : cos(ka)≃1−1 2(ka)²

⇒ mω² = (K+G)±p

(K+G)²−KG(ka)²

= (K+G)

1±

1− KG

2(K+G)²(ka)²

⇒ ω+= r2

m(K+G) , ω− = s

KG

2(K+G)ka≡c k

und s

u ≃ ∓ (K+G)

(K +G)(1−_2(K+G)^{KG 2}(ka)²) ≃ ∓1

F¨ur kleine k unterscheiden sich also deutlich die Moden:

ka≪π :

(+) : ω+ = const. s

u = −1 gegenphasig (optisch)

(−) : ω− = c k s

u = +1 gleichphasig (akustisch) Die Dispersion ist in Abb. 1 gezeigt, und zwar in der Form

ω± = K m

h

(1 +g)±p

1 +g²+ 2gcos(ka)i1/2

, g = G

K , K m ≡1

Anzahl der Moden: Die Anzahl der erlaubten k-Werte ist gerade N, also gibt es N optische und N akustische Moden. Die Gesamtzahl 2N der Moden entspricht der Anzahl der Massen in der Kette, denn jede Masse kann in einer Richtung (x- Richtung) um die Gleichgewichtslage schwingen, tr¨agt also einen Freiheitsgrad bei.

2. Phononen:

Die Moden der Kette seien mit λ bezeichnet, also λ ≡ (k,±), (±) steht f¨ur op- tisch/akustisch, mit den entsprechenden Eigenfrequenzen ωλ. Jeder Mode λ wird nun ein harmonischer Oszillator zugeordnet.

(a) F¨ur jede Mode:

λ : H_λ =~ω_λ(a^†_λa_λ + 1/2) , H_λ|n_λi=~ω_λ(n_λ+ 1/2)|n_λi , n_λ = 0,1,2,3, . . . Dann lautet die kanonische Zustandssumme derunterscheidbaren Oszillatoren:

Z =X

α

e^−βEα =Y

λ

X∞

nλ=0

e^{−β~ωλ(nλ+1/2)}

!

=Y

λ

e^−β~ωλ12 1−e^−β~ωλ

!

Innere Energie:

U = −1 Z

∂Z

∂β =− ∂

∂β ln(Z) =− ∂

∂β X

λ

−β~ωλ

2 −ln 1−e^−β~ωλ

= X

λ

~ωλ

1

2 +g(~ωλ)

(b) Hochtemperaturlimes k_BT ≫~ω_λ ⇒ e^β~ωλ ≈1 +β~ω_λ:

U =X

λ

~ωλ

1

2+ kBT

~ωλ

=X

λ

kBT 1 + 1

2

~ωλ

kBT

= 2N kBT

1 +O ~ωλ

kBT

| {z }

≪1

In f¨uhrender Ordnung ist dies genau der Gleichverteilungssatz, der besagt, dass jeder Freiheitsgrad, der quadratisch in der Lagrange-Funktion auftritt mit 1/2N kBT zur inneren Energie beitr¨agt (2N Atome oder Moden, die jeweils in der kinetischen und potentiellen Energie quadratisch auftreten).

Die spezifische W¨arme erh¨alt man durch Ableiten nach T und wir finden CV = 2N kB. Im allgemeinen lautet das Dulong-Petit’sche Gesetz

CV =dN rkB

mit der Raumdimension d, der Anzahl der Einheitszellen N und der Anzahl der Atome pro Einheitszeller.

(c) Diese N¨aherung wird auch als Einstein-Modell bezeichnet und liefert f¨ur optische Phononen brauchbare Resultate. Man erh¨alt mit den Annahmen vom ¨Ubungsblatt die innere Energie

U =U0+ 2N ~ω0

e^β~ω0 −1 und daraus sofort die spezifische W¨arme

CV = ∂U

∂T = 2N kB

(~ω₀)² (kBT)²

e^β~ω0

e^β~ω0 −12 = 2N kB

Θ_E T

2

e^ΘE/T e^ΘE/T −12

mit der charakteristischen Einstein-Temperatur kBΘE =~ω0 .

Hochtemperaturlimes T ≫Θe ( exp (ΘE/T)≈1 + ΘE/T ):

⇒ U −U0 = 2N kBT und CV = 2N kB . Tieftemperaturlimes T ≪Θe ( exp (ΘE/T)≫1 ):

U−U0 ≈2N ~ω0

e^β~ω0 = 2N~ω0e^−ΘE/T CV ≈2N kB

ΘE

T 2

e^ΘE/T

e^ΘE/T2 = 2N kB

ΘE

T 2

e^−ΘE/T

Sowohl U als auch C_V verschwinden, sind also exponentiell unterdr¨uckt im Limes T →0.

(d) Annahme: ω_λ =ω_akustisch=ck.

Die Grundzustandsenergie ist U0 =P

λ

~ωλ

2 . Es gilt dann also

U −U₀ = X

k

~ck e^β~ck−1

= V

2π Z ^π

a

−^π_a

dk ~ck e^β~ck−1

= 2N a

2π

(kBT)²

~c

Z ^π~c

akB T

0

dx x e^x−1

kBT≪~c^π_a

→ 2N a 2π

(kBT)²

~c

Z ∞ 0

dx x e^x−1

= N aπ

6

(kBT)²

~c Die spezifische W¨arme ergibt sich dann zu

CV = ∂U

∂T = N aπk_B² 3~c T .

Man kann leicht zeigen (in einer analogen Rechnung), dass im allgemeinen gilt CV ∝T^d ,

was dann f¨urd= 3 das bekannte T³–Gesetz ergibt.

Die vorgenommen N¨aherung entspricht im Wesentlichen dem Debye-Modell. Im all- gemeinen wird allerdings die Integralgrenze nicht nach∞geschoben, so dass Korrek- turen zur Temperaturabh¨angigkeit auftreten und die Resultate auch f¨ur “mittlere”

Temperaturbereiche g¨ultig werden.

3. Chemisches Potential f¨ur zweidimensionales Elektronengas:

np = 1 e^{kB Tǫ−µ} + 1

N¯ = (2s+ 1)A h²

Z

d²p np = (2s+ 1)A h² 2π

Z ∞ 0

ρ dρ exp

_p2 2m−µ

kBT

+ 1

z =

p² 2m −µ

kBT , dz = ρ dρ

mkBT, N¯ = (2s+ 1)A

h² 2πmkBT Z ∞

− ^µ

kB T

dz e^z+ 1

e^z =t −→

Z b a

dz e^z+ 1 =

Z tb

ta

dt t(t+ 1) =

Z tb

ta

dt 1

t − 1 t+ 1

= ln t t+ 1

tb

ta

= ln e^z

e^z + 1

tb

ta

N¯ = (2s+ 1)A

h² 2πmkBT ln e^z

e^z+ 1

∞

− ^µ

kB T

= (2s+ 1)A

h² 2πmkBT ln e^{−kB Tµ} + 1 e^{−kB Tµ}

!

µ(T) ergibt sich aus Bedingung ¯N(T) = ¯N(T = 0) = ^(2s+1)A_h2 2πmǫF, wobeiǫF =µ(T = 0). Gleichsetzen:

ǫF =kBT ln

1 +e^{kB Tµ}

, e^{kB TǫF} = 1 +e^{kB Tµ} , µ(T) = kBT ln

e^{kB TǫF} −1 µ= 0 bei ǫF =kBT ln 2, Tµ=0 = ǫ_F

kBln 2 kBT ≪ǫF : ln

e^{kB TǫF} −1

= ǫ_F

kBT + ln

1−e^{−kB TǫF}

≈ ǫ_F

kBT −e^{−kB TǫF} µ(T)≈ǫF −kBT e^{−kB TǫF} =ǫF − O

e^{−kB TǫF}

kBT ≫ǫF : ln

e^{kB TǫF} −1

≈ln

"

ǫF

k_BT + 1 2!

ǫF

k_BT 2

+. . .

#

µ(T)≈ −kBT lnkBT ǫF