Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08
Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung
Dr. M. Greiter Blatt 6
1. Harmonische Kette (4 Punkte)
(a) Bewegungsgleichungen:
d dt
∂L
∂u˙n
= ∂L
∂un
, d dt
∂L
∂s˙n
= ∂L
∂sn
, T = 1 2mX
n
[ ( ˙un)2+ ( ˙sn)2]
⇒ m¨un = −K(un−sn)−G(un−sn−1) m¨sn = −K(sn−un)−G(sn−un+1) Ansatz:
un(t) = u ei(kx−ωt)
sn(t) = s ei(kx−ωt) , x=n a Periodische Randbedingungen:
un+N =un ⇒ eikN a = 1 ⇒ k= 2π a
m
N , m = 0,±1,±2, . . .
Eindeutigkeit der L¨osung: Der Phasenfaktoreiknaist f¨ur zweik, die sich umG= 2πal unterscheiden, gleich:
eikna=ei(k+G)na , G= 2π
a l , l= 0,±1,±2, . . . Daher muß k eingeschr¨ankt werden auf
k= 2π a
m
N , m = 0,1,2, . . . ,(N −1) oder alternativ:
m= (−N/2 + 1),(−N/2 + 2), . . . ,−1,0,1, . . . ,(N/2) ⇔ −π
a < k≤ π a
(b) Ansatz in Bewegungsgleichungen einsetzen:
[mω2−(K+G) ]u+ [K+G e−ika]s = 0 [K+G eika]u+ [mω2−(K+G) ]s = 0 Nichttriviale L¨osung f¨ur
[mω2−(K +G) ]2−(K +Ge−ika)(K+Geika) = 0
g=1
g=0.5
ka/π
(+)
(−)
(−) (+)
0 0.5 1 1.5 2
−0.5 0
0.5 1 1.5 2
−0.5 0.5
−1 0 0.5 1
1 0
−1
Abbildung 1: Die Dispersion von optischer (+) und akustischer (−) Mode f¨ur unterschiedliche Federn G = 0.5K (unten) und identische Federn G = K (oben). F¨ur K = G verschwindet die optische Mode bzw. geht in die zur¨uckgefaltete akustische ¨uber.
⇒ mω2 = (K+G)±p
K2+G2+ 2KGcos(ka)
Die zugeh¨origen Moden werden bestimmt durch die L¨osung des Gleichungssystems:
⇒ s
u = −[K+Geika]
mω2−(K+G) =∓ [K+Geika]
pK2+G2+ 2KGcos(ka) Interessant ist jetzt der Grenzfallk →0 :
k≪π/a : cos(ka)≃1− 1 2(ka)2
⇒ mω2 = (K+G)±p
(K+G)2−KG(ka)2
= (K+G)
1±
1− KG
2(K+G)2(ka)2
⇒ ω+ = r2
m(K+G) , ω−= s
KG
2(K+G)ka≡c k und
s
u ≃ ∓ (K +G)
(K+G)(1−2(K+G)KG 2(ka)2) ≃ ∓1
F¨ur kleine k unterscheiden sich also deutlich die Moden:
ka≪π :
(+) : ω+ = const. s
u = −1 gegenphasig (optisch)
(−) : ω− = c k s
u = +1 gleichphasig (akustisch)
Die Dispersion ist in Abb. 1 gezeigt, und zwar in der Form ω±= K
m
h(1 +g)±p
1 +g2+ 2gcos(ka)i1/2
, g = G
K , K m ≡1
Anzahl der Moden: Die Anzahl der erlaubten k-Werte ist gerade N, also gibt es N optische und N akustische Moden. Die Gesamtzahl 2N der Moden entspricht der Anzahl der Massen in der Kette, denn jede Masse kann in einer Richtung (x- Richtung) um die Gleichgewichtslage schwingen, tr¨agt also einen Freiheitsgrad bei.
2. Zustandsdichte der Eigenmoden (3 Punkte)
(a)
D+(ω) = X′
k
δ(ω−ω0) =N δ(ω−ω0) denn die Anzahl der erlaubtenk-Werte ist N.
D−(ω) = X′
k
δ(ω−c|k|) = 1 dk
Z π/a
−π/a
dk δ(ω−c|k|) , dk = 2π Na = 2π
L
⇒ D−(ω) = Na 2π2
Z π/a 0
dk δ(ω−ck) = Na πc
Z π/a 0
dk δ(k− ω c)
⇒ D−(ω) = Na
πc θ(ω)θ(πc a −ω) (b)
D+(ω) = δ(ω−ω0) X′
k
X
s
es gilt X
s
= 3 , X′
k
= X′
kx
X′
ky
X′
kz
=N ,
denn f¨ur kx, ky, kz gelten jeweils dieselben Bedingungen wie in Aufg. 1, mit N → (N)1/3. Die Anzahl optischer und akustischer Moden im dreidimensionalen Kristall ist jeweils 3N.
⇒ D+(ω) = 3N δ(ω−ω0)
F¨ur kleine Frequenzen ω ≪ω0 ist das nat¨urlich null.
D−(ω) = 3 X′
k
δ(ω−c|k|) = 3 1 d3k
ZZπ/aZ
d3k δ(ω−c|k|)
dk = 2π
L ⇒ d3k = 1 N
2π a
3
F¨ur ω ≪ c/a d¨urfen wir die Integrationsgrenzen ignorieren. In Kugelkoordinaten ergibt sich dann
⇒ D−(ω) = 3N a 2π
3
4π Z ∞
0
k2dk δ(ω−ck) = 3N a 2π
3
4πω2 c3θ(ω)
⇒ D−(ω) = 3N 2π2
ω2
(c/a)3θ(ω) f¨ur ω ≪c/a
3. Phononen (3 Punkte)
(a) Die Moden von Kette oder Kristall seien mal mit λ bezeichnet, also λ ≡ (k,±) bzw.λ ≡(k, s,±) , (±) steht f¨ur optisch/akustisch, mit den entsprechenden Eigen- frequenzen ωλ. Jeder Modeλ wird nun ein harmonischer Oszillator zugeordnet,
λ : Hλ =~ωλ(a†λaλ+1/2) , Hλ|nλi=~ωλ(nλ+1/2)|nλi , nλ = 0,1,2,3, . . . Dann lautet die kanonische Zustandssumme derunterscheidbaren Oszillatoren:
Z =X
α
e−βEα =Y
λ
X∞
nλ=0
e−β~ωλ(nλ+1/2)
!
=Y
λ
e−β~ωλ12 1−e−β~ωλ
!
Innere Energie:
U = −1 Z
∂Z
∂β =− ∂
∂β ln(Z) =− ∂
∂β X
λ
−β~ωλ
2 −ln 1−e−β~ωλ
= X
λ
~ωλ
1
2+g(~ωλ)
Mit den Zustandsdichten D±(ω) lautet das Ergebnis
⇒ U = Z ∞
0
dω D+(ω) +D−(ω)
~ω1
2 +g(~ω)
Der Hamiltonian und entsprechendU sind die eines (nicht wechselwirkenden) Bose- Gases. Allerdings ist das chemische Potential µ ≡ 0 . Die kanonische Gesamtheit der Oszillatoren kann also auch als großkanonische Gesamtheit eines Gases aus Bo- sonen (den Oszillator-Anregungsquanten = Phononen) interpretiert werden. Die klassischen Eigenmoden des Kristalls bilden die Einteilchen-Zust¨ande, die von die- sen Bosonen besetzt werden k¨onnen. µ = 0 bedeutet, daß es keine Energie kostet (oder bringt), Phononen aus dem Teilchenbad (großkanonische Gesamtheit) in das System zu holen. Anders ausgedr¨uckt, Phononen sind nicht erhalten (man kann ihnen keine erhaltene Masse zuschreiben). W¨ahrend ein Bose-Gas im Niveau mit niedrigster Energie min(~ωλ) kondensieren w¨urde, wenn die Temperatur gegen null geht, verschwinden die Phononen einfach.
(b) F¨ur kleine Temperaturen tragen in g(~ω) nur kleine Frequenzen und nat¨urlich nur die akustischen Moden bei,
cV = ∂U
∂T = ∂
∂T Z ∞
0
dω D−(ω)~ω g(~ω) Die Grundzustandsenergie E0 =R
dω D−(ω)~2ω f¨allt incV raus. F¨ur die akustische Zustandsdichte hatten wir
D−(ω) = Cdωd−1θ(ω) , d= 1 : Kette , d= 3 : Kristall Also, mit x=β~ω:
⇒ cV = ∂
∂T
Cd~ Z ∞
0
dω ωd eβ~ω−1
= ∂
∂T
Cd(kT)d+1 1
~d Z ∞
0
dx xd ex−1
| {z }
=const.
⇒ cV ∼Td , d= 1,3
