Aufgabe VII.2 Sei (zn) eine Folge in C, welche gegen ein z∈ C konvergiert

Prof. Dr. Moritz Kaßmann Fakultät für Mathematik

Wintersemester 2014/2015 Universität Bielefeld

Präsenzaufgaben zu Analysis 1 Blatt VII vom 27.11.14

Aufgabe VII.1

a) Bringen Sie die folgenden komplexen Zahlen in die Formz=a+ib, wobeia, b∈R und bestimmen Sie|z|.

(i) z= _7+i⁸ , (ii) z= ^|4i+3|_1−i .

b) Seienz, w ∈C. Weisen Sie die folgenden Rechenregeln nach:

(i) |zw|=|z| · |w|, (ii) |z+w| ≤ |z|+|w|.

Aufgabe VII.2

Sei (z_n) eine Folge in C, welche gegen ein z∈ C konvergiert. Zeigen Sie, dass dann die reelle Zahlenfolge(|z_n|) gegen|z|konvergiert. Zeigen Sie außerdem, dass die Umkehrung im Allgemeinen nicht wahr ist.

Aufgabe VII.3

Bestimmen Sie alle Zahlenz∈C mit

z³= 1.

Hinweis: Diese Zahlen sind als dritte Einheitswurzeln bekannt.

Aufgabe VII.4

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz. Beweisen Sie Ihre Behauptung.

(i)

∞

X

k=1

1 +k²

k⁴+ 2, (ii)

∞

X

k=1

1 +k² k⁴−2, (iii)

∞

X

k=1

1 +k² 1 +k³

2

, (iv)

∞

X

k=2

k+ 1 k²−1.