(c) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der DGL y0(t

W. Werner und T. Timmermann SS 13 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker II

Blatt 8

Abgabe bis Freitag, 15. Juni, 12 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Sei A eine reelle n×n-Matrix mit einem komplexen Eigen- vektor ~u=~v+i ~wzu einem komplexen Eigenwert λ=α+iω.

(a) Zeigen Sie, dass ¯~u:=~v−i ~wein Eigenvektor von Azu dem Eigenwert

¯λ:=α−iω ist.

(b) Berechnen Sie die Real- und Imagin¨arteile vony₁(t) = e^λt~uundy₂(t) = e^λt¯ ~u¯ und zeigen Sie, dass y₁, y₂ und deren Real- und Imagin¨arteile die DGL y⁰(t) = Ay(t) l¨osen.

(c) Bestimmen Sie die allgemeine L¨osung der DGL y⁰(t) =

2 1 5 −2

y(t).

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung Aufgabe 2. Bestimmen Sie f¨ur die Matrix

A=





11 −18 9 6 −10 6

0 0 2





(a) das charakteristische Polynom, (b) die Eigenwerte, (c) die Eigenr¨aume, (d) die allgemeine L¨osung der linearen DGL y⁰(t) = Ay(t) .

Aufgabe 3. Die Folge (an)n der Fibonacci-Zahlen ist rekursiv definiert durch a₀ = 0, a₁ = 1 und a_n+2 = a_n+1 +a_n f¨ur alle n ≥ 0. F¨ur jedes n ≥0 sei ~v⁽ⁿ⁺¹⁾ =

a_n+1 a_n

. Bestimmen Sie

(a) eine Matrix A, die ~v⁽ⁿ⁺¹⁾ =A~v⁽ⁿ⁾=Aⁿ~v⁽¹⁾ f¨ur alle n≥0 erf¨ullt;

(b) die Eigenwerte und Eigenvektoren von A;

(c) Zahlen λ₁, λ₂, c₁, c₂ ∈C so, dassa_n =c₁λⁿ₁ +c₂λⁿ₂ f¨ur alle n∈N gilt;

(d) den Grenzwert limn→∞ an+1

an .

Aufgabe 4. DieSpur einern×n-MatrixA= (α_ij)_i,j ist Sp(A) =Pn i=1α_ii. Sei A eine n × n-Matrix und seien χ_A(λ) = Pn

i=0c_iλⁱ. Zeigen Sie zur Vervollst¨andigung des Beweises von Satz 17:

(a) F¨ur jede n×n-MatrixB gilt Sp(AB) = Sp(BA).

(b) F¨ur jede invertierbare n×n-MatrixS gilt Sp(S⁻¹AS) = Sp(A).

(c) Ist A = (α_ij)_i,j eine obere Dreiecksmatrix, also α_ij = 0 f¨ur i > j, so gilt cn−1 = (−1)ⁿ⁻¹Sp(A).

(d) Auch ohne weitere Annahme an A gilt cn−1 = (−1)ⁿ⁻¹Sp(A).

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