Seien u, v: C→R differenzierbar, f =u+iv: C→C und ∂zf

W. Werner und T. Timmermann WS 13/14 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker III

Blatt 7

Abgabe bis Montag, 9. Dezember, 10 Uhr Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. Seien u, v: C→R differenzierbar, f =u+iv: C→C und

∂_zf := 1

2(∂_xf−i∂_yf), ∂_z¯f := 1

2(∂_xf+i∂_yf).

Ferner sei ¯f: C→Cdefiniert durch z 7→f(¯z). Zeigen Sie:

(a) f ist genau dann in z ∈C komplex differenzierbar, wenn ∂_¯zf(z) = 0, und in dem Fall gilt f⁰(z) = ∂_zf(z).

(b) ∂_zf =∂_¯zf¯und ∂_¯zf =∂_zf¯. Sind f und ¯f holomorph, so istf konstant.

(c) Ist g: C→C reell differenzierbar, so gilt ∂_z(f g) = (∂_zf)g+f(∂_zg).

(d) F¨ur alle k, l∈N mit k ≥1 gilt∂_z(z^kz¯^l) =kz^k−1z¯^l und ∂_z¯(z^lz¯^k) = kz^lz¯^k−1. Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. (a) Bestimmen Sie alle Punkte z ∈ C, in denen die Funktion f: z 7→ |z|⁴−2|z|² komplex differenzierbar ist.

(b) Finden Sie eine holomorphe Funktionf: C→C,x+iy7→u(x, y)+iv(x, y), mit u(x, y) =x²−y²−x. (Erraten erlaubt.)

Aufgabe 3. Berechnen Sie folgende komplexe Kurvenintegrale:

(a) R

γzdz mit γ: [0,1]→C gegeben durch γ(t) = e^(i+1)t2; (b) R

γ(x²−iy²) dz mit γ: [0,1]→C gegeben durchγ(t) = (t+ 1) + 2i(t+ 1)². Aufgabe 4. Seien f, g: R → C stetig und absolut-integrierbar in dem Sinne,

dass kfk₁,kgk₁ <∞.

(a) Zeigen Sie, dass f¨ur alle ω∈R gilt:

√1

2π(F(f ∗g))(ω) = (Ff)(ω)(Fg)(ω).

Vertauschen Sie dazu auf der linken Seite die Integrationsreihenfolge, be- nutzen Sie die Gleichung e^iωt = e^iωse^iω(t−s) und substituieren Siet⁰ :=t−s.

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(b) Sei f^∗ definiert durchf^∗(t) :=f(−t). Zeigen Sie, dass dann gilt:

(f∗f^∗)(0) =kfk²₂, (F⁻¹(f f))(0) = 1

√2πkfk²₂.

(c) Zeigen Sie, dass F(f^∗) =Ff gilt.

(d) Wenden Sie F⁻¹ auf die Gleichung in (a) mit g = f^∗ an und folgern Sie, dass kfk²₂ =kFfk²₂ gilt und somit die Fourier-Transformation isometrisch bez¨uglich desL²-Skalarproduktes ist.

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