(b) Berechnen Sie ein Potenzial U f¨ur F mit Hilfe folgender Formel aus der Vorlesung: U(x, y

W. Werner und T. Timmermann WS 13/14 Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker III

Blatt 2

Abgabe bis Montag, 04. November, 10 Uhr

Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung

Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie, dass das Kraftfeld F: R² →R², (x, y)7→

e^xsiny−2ysinx e^xcosy+ 2 cosx

,

die Integrabilit¨atsbedingungen erf¨ullt und ein Potenzial besitzt.

(b) Berechnen Sie ein Potenzial U f¨ur F mit Hilfe folgender Formel aus der Vorlesung:

U(x, y) = Z y

0

F₂(0, t) dt+ Z x

0

F₁(t, y) dt.

(c) Bezeichne D den K¨orper, der von dem Paraboloid z = 2x² +y² und der Fl¨ache z = 4−y² eingeschlossen wird, und sei f: D → R gegeben. Bes- timmen Sie Integrationsgrenzen x₀, x₁,y₀(x), y₁(x),z₀(x, y),z₁(x, y) mit

Z

D

f(x, y, z) d(x, y, z) = Z x1

x0

Z y1(x) y0(x)

Z z1(x,y) z0(x,y)

f(x, y, z) dzdydx.

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Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 2. Pr¨ufen Sie, ob die folgenden Kraftfelder ein Potenzial besitzen, und bestimmen Sie im positiven Fall ein solches:

(a) F: R³ →R³,



 x y z



7→





ysinz xsinz xycosz



.

(Hinweis: Sie d¨urfen raten und die L¨osung dann ¨uberpr¨ufen.) (b) G:R³ →R³, ~v 7→ln(1 +k~vk²)~v.

(Hinweise: Verwenden Sie die Formel U(~v) = R

γ_~vhG, dγ_~vi mit γ_~v(t) = t~v sowieR

lntdt=t(lnt−1) +c.)

Aufgabe 3. Sei a < b und f: [a, b]→[0,∞) st¨uckweise stetig differenzierbar.

(a) Bezeichne V das Volumen des Rotationsk¨orpers

{(x, y, z)∈R³ :x∈[a, b], y²+z² ≤f(x)},

A den Fl¨acheninhalt unter dem Graphen von f und U den Umfang des Kreises, den der Schwerpunkt der Fl¨ache unter dem Graphen bei der Rota- tion um die x-Achse beschreibt. Beweisen Sie die zweite Guldinsche Regel V =AU.

(b) Seien R > r >0. Berechnen Sie das Volumen des Voll-Torus {(x, y, z)∈R³ :x²+ (p

y²+z²−R)² ≤r²}.

Aufgabe 4. Bestimmen Sie das Volumen des K¨orpers D aus 1(c), indem Sie schrittweise wie in 1(c) integrieren.

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