1. Welche der folgenden Mengen sind Basen des R 3 ?

Basen, lineare Abbildungen und ihre Darstellung

Tutorien Höhere Mathematik II, 30.4-9.5.2012

1. Welche der folgenden Mengen sind Basen des R ³ ?

B 1 =









 1 0 1



 ,



 3 2 4



 ,





−1

−1

−1











B 2 =









 1 0 1



 ,



 3 2 3



 ,





−1

−1

−1









 Bestimmen Sie alle α ∈ R , für die

B 3 =









 1 0 1



 ,



 3 α 4



 ,





−1

−1

−1











eine Basis des R ³ ist.

2. Stellen Sie die Vektoren x = [4, 2, 5] ^T , y = [−3, −2, 3] ^T und z = [−3, −2, −4] ^T bezüglich der Basis B 1 aus Aufgabe 1 dar.

3. Konstruieren Sie eine Orthonormalbasis {b 1 , b 2 , b 3 } des R ³ mit b 1 = ¹ ₂ √

2[1, −1, 0] ^T

4. Es sei

f : R ³ → R ,



 x y z



 7→ x + y + z.

Zeigen Sie, dass f linear ist, und bestimmen Sie Nullraum und Bild von f . Was können Sie über die Dimensionen dieser Objekte sagen?

5. Es sei

f : R ³ → R ³ ,



 x y z



 7→



 x + 2y

x − y 2y



 .

Zeigen Sie, dass f linear ist. Geben Sie die Abbildungsmatrizen [f ] _I , [f ] _B

₁

und [f ] _C von f an. Hierbei seien I die Standardbasis, B 1 wie in Aufgabe 1, und

C =









 1 0 1



 ,



 3 1 4



 ,





−1

−1

−1









 .

6. Bestimmen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden Matrizen.

A ₁ =

2 1 4 −1

, A ₂ =

1 2 4 3

, A ₃ =

3 0 0 −2

.

Warum bilden die Eigenvektoren in all diesen Fällen eine Basis des R ² ?

Geben Sie jeweils eine Diagonalmatrix D sowie eine Matrix V an, so dass für die jeweils betrachtete Matrix A die Beziehung A = V DV ⁻¹ gilt. Welche Rolle spielen diese Matrizen im Hinblick auf Basiswechsel etc.?

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