Zeigen Sie, dass das Verfahren f ¨urα = 1± √2 2 A-stabil ist

Numerik, Wintersemester 2011 Blatt 7

Dr. Olaf Ippisch Abgabe 9. 12. 2011 bis 9:00

Rebecca Neumann INF 288, links neben HS 2

IWR, Universit¨at Heidelberg

U¨BUNG1 SDIRK VERFAHREN

1. Bestimmen Sie f ¨ur das Alexander Verfahren, welches durch das Butcher Tableau

α α 0

1 (1−α) α 1−α α

gegeben ist, die Stabilit¨atsfunktionω(hλ) zum Modellproblem u⁰(t) = λu(t) (erf ¨ullt yn+1 = ω(hλ)y_n).

2. Zeigen Sie, dass es f ¨urα= 1±

√2

2 das Modellproblem in zweiter Ordnung approximiert. F ¨uhren Sie hierzu einen Koeffizientenvergleich vonω(z)unde^z durch.

3. Zeigen Sie, dass das Verfahren f ¨urα = 1±

√2

2 A-stabil ist. (Hinweis: Maximumsprinzip f ¨ur holomorphe Funktionen aufC⁻anwenden)

4. Zeigen Sie, dass das Verfahren von Crouzieux mit dem Butcher-Tableau

1 2 + ¹

2√ 3

1 2 + ¹

2√

3 0

1 2 − ¹

2√

3 −^√1

3 1 2 + ¹

2√ 3

0 ¹₂ ¹₂

A-stabil ist und das Modelproblem in dritter Ordnung approximiert.

6 Punkte U¨BUNG2 LMM FORMEN

Die L ¨osungu(t)einer AWA erf ¨ulle

u(t_n) =u(tn−σ) + Z tn

tn−σ

f(s, u(s))ds.

1. Beweisen Sie unter Verwendung des Interpolationspolynoms

p_m(t) =

m

X

µ=0

f(tk−µ, u(tk−µ))L_µ,m(t) mit L_µ,m(t) =

m

Y

l=0,l6=µ

t−tk−l

tk−µ−tk−l

die Beziehung

u(t_n) =u(tn−σ) +

m

X

µ=0

f(t_k−µ, u(t_k−µ)) Z tn

tn−σ

L_µ,m(s)ds+O(h^m+2),

welche die Grundlage der Adams-Formeln beschreibt. (Hinweis: Verwenden Sie die Interpola- tionsfehlerabsch¨atzung aus Numerik 0)

2. Beweisen Sie die Beziehung

m

X

µ=0

L⁰_µ,m(tn)u(tk−µ) =f(tn, u(tn)) +O(h^m),

welche die R ¨uckw¨artsdifferenzenformeln begr ¨undet.

4 Punkte U¨BUNG3 NEWTON

Approximieren sie die L ¨osung der 2-dimensionalen AWA

u⁰₁(t) = sin(u1(t)) sin(u2(t)), t≥0, u1(0) = 3, u⁰₂(t) = sin(u1(t)) sin(u2(t)), t≥0, u1(0) = 4,

mit Hilfe der impliziten Trapezregel 2. Ordnung. Die L ¨osung konvergiert f ¨urt → ∞ gegen einen konstanten Vektor, dessen Wert bestimmt werden soll.

Die in jedem Zeitschritt auftretenden nichtlinearen Gleichungssysteme sollen mit dem Newton- verfahren ohne D¨ampfung gel ¨ost werden. F ¨ur die resultierenden linearen Gleichungssystem kann wie auf Blatt 6 die LR-Zerlegung verwendet werden.

Achtung: Die hdnum-eigene Newton Klasse darf in dieser Aufgabe nicht verwendet werden!

6 Punkte