Universit¨at Konstanz
Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk
Mario Kaip 23. Oktober 2009
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AA Q
Q QQ
Analysis I 1. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 1.1 Seien X, X0 Mengen und f : X −→ X0 eine Abbildung. Beweisen Sie, dass folgende Aussagen ¨aquivalent sind:
(i) f ist injektiv.
(ii) f(A∩B) =f(A)∩f(B) f¨ur alle Teilmengen A, B⊂X.
(iii) f(A\B) =f(A)\f(B) f¨ur alle TeilmengenA, B ⊂X.
Aufgabe 1.2 Es seienf :X→Y undg:Y →Z Abbildungen. Zeigen Sie:
(a) Istg◦f injektiv, so istf injektiv.
(b) Istg◦f injektiv undf surjektiv, so istg injektiv.
(c) Istg◦f surjektiv, so istg surjektiv.
(d) Istg◦f surjektiv und g injektiv, so istf surjektiv.
Aufgabe 1.3 Beweisen Sie mit vollst¨andiger Induktion die folgenden Aussagen:
(a) F¨ur alle n∈N giltQn
ν=1(1 + 1ν) =n+ 1.
(b) F¨ur alle n∈N istn3+ 5ndurch 6 teilbar.
(c) F¨ur alle n∈N0 und allex, y∈Rgilt
n
X
k=0
(y+kx) = 1
2(n+ 1)(2y+nx).
Aufgabe 1.4 SeiX 6=∅ ein beliebige Menge undR, S⊂X×X transitive Relationen.
(a) Zeigen Sie, dassR∩S auch eine transitive Relation ist.
(b) Finden Sie ein Beispiel f¨urX, Rund S, bei welchemR∪S keine transitive Relation ist.
Abgabetermin: Freitag 30. Oktober 2009, vor 10:00 Uhr in die Briefk¨asten bei F411.
