Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 2
Abgabe bis Do, 30.10., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Im Folgenden seiK stets ein angeordneter K¨orper.
Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie: |a−b| ≥
|a| − |b|
und|a+b| ≥
|a| − |b|
f¨ur alle a, b∈K.
(b) Das arithmetische, geometrische und harmonische Mittel zweier positiver Zahlen a, b∈K ist definiert als
A(a, b) = a+b
2 , H(a, b) = 2ab
a+b. Zeigen Sie: H(a, b)≤A(a, b).
(c) Zeigen Sie: (1 + n1)n ≤Pn k=0
1
k! f¨ur alle n∈N0.
Aufgabe 2. Sei n ∈N0 und x∈ Kmit x≥ −1. Beweisen Sie mit vollst¨andiger Induktion die Bernoullische Ungleichung
(1 +x)n≥1 +nx.
Aufgabe 3. Zeigen Sie, dass f¨ur alle a, b, c, d∈K gilt:
(a) max{x, y}= 12(x+y+|x−y|) und min{x, y}= 12(x+y− |x−y|);
(b) (ab+cd)2 ≤(a2+c2)(b2+d2).
Aufgabe 4. Zeigen Sie:
(a) 2n ≤(n+ 1)! f¨ur alle n∈N0;
(b) (1 +1n)n<3 f¨ur allen ∈N. (Hinweis: Verwenden Sie 1(c), 4(a) und die Formel f¨ur die geometrische Summe vom letzten Blatt.)
Zusatzaufgabe 5. Zeigen Sie mit Hilfe von 4(b) und vollst¨andiger Induktion die Ungleichung n3n
≤ n!3 f¨ur alle n∈N.
1
