Wend Werner Thomas Timmermann
Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 1 Blatt 2
Abgabe bis Do, 30.10., 13 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-4 zur selbst¨andigen Bearbeitung
Aufgabe 1. (a) Zeigen Sie: |a−b| ≥
|a| − |b|
f¨ur alle a, b∈Q.
(b) Dasarithmetischeundharmonische Mittel zweier positiver rationaler Zahlen a, b ist definiert als
A(a, b) = a+b
2 , H(a, b) = 2ab
a+b. Zeigen Sie: H(a, b)≤A(a, b).
(c) Zeigen Sie: (1 + n1)n ≤Pn k=0
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k! f¨ur alle nat¨urlichen Zahlenn ≥1.
Aufgabe 2. Sei x ≥ −1 und sei n eine nat¨urliche Zahl. Beweisen Sie mit vollst¨andiger Induktion dieBernoullische Ungleichung
(1 +x)n≥1 +nx.
Aufgabe 3. (a) Zeigen Sie, dass f¨ur alle rationallen Zahlen a, b, c, dgilt:
(ab+cd)2 ≤(a2 +c2)(b2+d2).
(b) Bestimmen Sie die Menge aller Zahlen x, welche die Bedingung
||x−1| −2| ≤1 und ||x−2| −1| ≤1 erf¨ullen.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass f¨ur alle nat¨urlichen Zahlenn ≥0 gilt:
(a) 2n ≤(n+ 1)!
(b) (1 + n1)n < 3. (Hinweis: Verwenden Sie 1(c), 4(a) und die Formel f¨ur die geometrische Summe vom letzten Blatt.)
Bemerkung: Alle obigen Aussagen gelten auch f¨ur reelle statt rationale Zahlen.
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