Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 1¨ Blatt 8
Abgabe bis Do, 11.12., 12 Uhr Musterl¨osung zu Aufgabe 5
Zusatzaufgabe 5. Sei f: R→R wie in Aufgabe 4 und stetig. Zeigen Sie:
(a) Falls ein y 6= 0 mit f(y) = 1 existiert, so ist f konstant (Hinweis: Zeigen Sie: falls y6= 0 mit f(y) = 1 existiert, dann ist f(qy) = 1 f¨ur alle q∈Q).
L¨osung: Sei y6= 0 undf(y) = 1.
Weil f(z)f(y−z) =f(y) = 1 f¨ur alle z ∈R, folgt f(z)6= 0 f¨ur alle z ∈R. Daf stetig ist, folgt mit dem Zwischenwertsatz, dassf(z)>0 f¨ur allez ∈R. Nun folgert man induktiv f(mx) = f(x)m f¨ur alle x ∈ R und m ∈ N0, indem man im Induktionsschritt die Gleichung f((m+ 1)x) = f(x)f(x)m verwendet. Ist n ∈ N, m ∈ Z und q = m/n, so folgt f(qy) = 1, weil f(qy)n =f(nqy) =f(my) = f(y)m = 1 undf(yq)>0.
Da Q ⊆ R dicht ist und y 6= 0, ist auch {qy : q ∈ Q} ⊆ R dicht. Aus der Stetigkeit von f folgt dann, dassf konstant 1 ist.
(b) Ist f nicht konstant, so ist f injektiv und streng monoton und besitzt eine stetige Umkehrfunktion g : (0,∞)→R.
L¨osung: Istf(a) = f(b), so folgt ausf(a−b)f(b) = f(a) sofortf(a−b) = 1.
W¨are a6=b, so w¨are nach (a) f konstant im Widerspruch zur Annahme.
W¨are f nicht streng monoton, so g¨abe es a < b < c mit f(a)≤f(b)≥f(c) oderf(a)≥f(b)≤f(c). In beiden F¨allen w¨urde mit dem Zwischenwertsatz folgen, dass Punkte ξ ∈ (a, b) und η ∈ (b, c) mit f(ξ) = f(η) existieren, im Widerspruch zur Injektivit¨at von f.
Daf(R) = (0,∞) nach Aufgabe 4(c), hatf eine Umkehrfunktiong: (0,∞)→ R. Bleibt zu zeigen, dass g stetig ist.
Das liegt nur an der strengen Monotonie und Stetigkeit vonf und hat nichts mit der Funktionalgleichung zu tun. (Alternativ kann man verwenden, dass die Umkehrfunktion einer stetige bijektiven Abbildungen zwischen kompak- ten Mengen stets wieder stetig ist, indem man die Einschr¨ankungen von f auf die Intervalle [−n, n] f¨urn ∈Nbetrachtet.)
Da f streng monoton ist, muss auch g streng monoton sein. Wir nehmen an, g sei streng monoton wachsend, der andere Fall ist ¨ahnlich. Sei x ∈ (0,∞). Wir zeigen, dass limy%xg(y) = g(x), und ein ¨ahnliches Argument liefert limy&xg(y) = g(x), woraus die Stetigkeit folgt. Konvergiert (yn)n streng monoton wachsend nachx, so ist auch die Folgeg(yn) streng monoton wachsend und nach oben beschr¨ankt, hat also einen Grenzwert z. Wegen limng(yn) = z folgt x = limnyn = limnf(g(yn)) = f(z) und somit g(x) = g(f(z)) =z.
(c) f ist durch den Wert f(1) eindeutig bestimmt.
L¨osung: Ahnliches wie in (a) sieht man, dass¨ f(q) = f(1)q f¨ur alle q ∈ Q und somit f|Q durch f(1) eindeutig bestimmt ist. Weil f stetig und Q⊆R dicht ist, ist f durch f|Q eindeutig bestimmt.
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