Zeigen Sie, daß f¨ur Mengen A, B gilt: (i) (A∪B)∩A=A

SS 2004

Prof.Dr. G. Nebe

Andreas Martin Blatt 1

Ubungen zur Linearen Algebra¨ Abgabe : Dienstag, 27.4.2004, vor den ¨Ubungen 1. Zeigen Sie, daß f¨ur Mengen A, B gilt:

(i) (A∪B)∩A=A.

(ii) (A∩B)∪A=A. (je 2 P.)

2. Diesymmetrische Differenz zweier Mengen A, B ist definiert als A△B := (A−B)∪(B−A).

Zeigen Sie, daß f¨ur MengenA, B, C gilt:

(i) A△B = (A∪B)−(A∩B).

(ii) (A△B)△C =A△(B △C). (2+3 P.)

3. Zeigen Sie, daß f¨ur Elemente a, b, c, d einer Menge gilt:

(a, b) = (c, d) genau dann, wenn a=c und b=d.

(4 P.) 4. Es seien m ∈ N und a, b ∈ Z. Wir schreiben m|a, in Worten

”m teilt a“, falls es ein c∈Z gibt so daß mc=a. Wir definieren eine Relation ≡m auf Z×Z durch

a ≡_m b genau dann, wenn m|b−a . (i) Zeigen Sie, daß ≡m eine ¨Aquivalenzrelation ist.

(ii) Bestimmen Sie alle ¨Aquivalenzklassen bez¨uglich ≡m. Wie viele solche Aquivalenzklassen gibt es?¨

(3+3 P.) 5. Entscheiden Sie, ob die folgenden Relationen auch Funktionen sind, und be- stimmen Sie gegebenenfalls den Definitionsbereich und das Bild der Funk- tion.

(i) {(1,1),(2,1)}. (ii) {(1,1),(1,2)}.

(iii) {(n, n²)| n∈N}.

(iv) {(n², n)| n∈N}.

(v) {(n², n)| n∈Z}. (je 1 P.)

Die ¨Ubungsaufgaben finden Sie im Internet unter der Adresse:

www.mathematik.uni-ulm.de/ReineM/nebe/Vorl/la

Tutoriumsaufgaben:

1. Es sei M :={{1,2,3},{1,3},{3,4}}. Bestimmen Sie P(M), \

T∈M

T, [

T∈M

T .

2. Es sei f :A →B eine Abbildung. Die Relation∼_f aufA×A sei definiert durch

a₁ ∼f a₂ genau dann, wenn f(a₁) =f(a₂). (i) Zeigen Sie, daß ∼_f eine ¨Aquivalenzrelation ist.

(ii) Es sei speziell A = B = Z und f(z) = (−1)^z(z−1)/2 f¨ur alle z ∈ Z. Bestimmen Sie die ¨Aquivalenzklassen bez¨uglich ∼f.