Rechenregeln f¨ur Potenzen und Logarithmen F¨ur die Exponential- und Logarithmusfunktion gelten folgende Regeln: a

Rechenregeln f¨ur Potenzen und Logarithmen

F¨ur die Exponential- und Logarithmusfunktion gelten folgende Regeln:

a^s+t = a^sa^t, log_ax+ log_ay = log_a(xy), a^s−t = a^s/a^t, log_ax−log_ay = log_a(x/y),

a^st = (a^s)^t tlog_ax = log_ax^t, mit s,t ∈Rund x,y >0.

Dar¨uber hinaus gilt f¨ur die Umrechnung zwischen verschiedenen Basen log_bx= log_ba log_ax.

Einige f¨ur Umrechnungen wichtige Werte sind in der nebenstehenden Ta- belle angegeben. Beispielsweise ist

logx = (log e) lnx = 0.4343 lnx (b= 10, a= e).

2 e 10

ld 1.4427 3.3219

ln 0.6931 2.3026

log 0.3010 0.4343

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Beweis

(i) ¨Aquivalenz der Regeln:

Logarithmieren der Regeln f¨ur die Exponentialfunktionen s+t = log_a(a^sa^t)

s−t = log_a(a^s/a^t) st = log_a((a^s)^t) Setzen von

x =a^s,y=a^t ⇔ log_ax =s,log_ay =t Formeln f¨ur die Logarithmusfunktionen

(ii) Begr¨undung der Regeln f¨ur die Exponentialfunktionen:

Funktionalgleichungen =⇒ erste beide Identit¨aten

a^r = e^rlna (Definition) mitr =st und r =s =⇒ dritte Identit¨at:

a^st = e^stlna= (e^slna)^t = (a^s)^t

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(iii) Umrechnungsformel:

Anwenden der Potenzfunktionr 7→b^r ¨aquivalente Identit¨at x =b^logbalogax

Vereinfachen der rechten Seite mit Hilfe der Regeln b^st = (b^s)^t,c^logcr =r mit c =b undc =a

b^logbalogax =

b^logbalog_ax

=a^logax =x X

Spezialfallb = 10,a= e

Regel f¨ur die Umrechnung des dezimalen in den nat¨urlichen Logarithmus

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Beispiel

Anwendung der Rechenregeln f¨ur Logarithmen (i) ln(ab) = lna+ lnb, ln(a^s) =slna =⇒

ln(4x²)−2 ln(2)

= ln(2²) + ln(x²)−2 ln 2

= 2 ln 2 + 2 lnx−2 ln 2

= 2 lnx

(ii) log₄a^s =slog₄a, ld(a+b) = lda+ ldb, log₄a= (log₄2) lda =⇒ log₄(x²) + ld(2x)

= 2 log₄x+ ld 2 + ldx

= 2(log₄2) ldx+ ld 2 + ldx log₄2 = 1/2

ldx+ ld 2 + ldx= ld 2 + 2 ldx= ld(2x²)

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