Rechenregeln f¨ ur Differentialoperatoren

(1)

Rechenregeln f¨ ur Differentialoperatoren

F¨ ur r¨ aumliche Vektorfelder F ~ , G ~ und r¨ aumliche Skalarfelder U , V gelten folgende Rechenregeln.

Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt rot(grad U ) = ~ 0

div(rot F ~ ) = 0

rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~

wobei der Laplace-Operator einer vektorwertigen Funktion komponentenweise zu interpretieren ist, d.h.

∆ F ~ = ∆F

x

e ~

x

+ ∆F

y

~ e

y

+ ∆F

z

~ e

z

.

(2)

Bei der Differentiation von Produkten gilt grad(UV ) = U grad V + V grad U div(U F ~ ) = U div F ~ + F ~ · grad U div( F ~ × G ~ ) = G ~ · rot F ~ − F ~ · rot G ~ rot(U F ~ ) = U rot F ~ − F ~ × grad U

Analoge Identit¨ aten gelten auch f¨ ur ebene Felder. Formal erh¨ alt man die entsprechenden Formeln, wenn man die dritte Komponente der Felder null setzt und nur von x und y abh¨ angige Funktionen betrachtet.

Rechenregeln f¨ur Differentialoperatoren 1-2

(3)

Beweis:

(i) rot(grad U) = ~ 0:

x-Komponente

∂

_y

(grad U)

_z

− ∂

_z

(grad U )

_y

= ∂

_y

∂

_z

U − ∂

_z

∂

_y

U = 0 Analog verschwinden die y- und z -Komponenten.

(ii) div(rot F ~ ) = 0:

Definition der Rotation mit Hilfe des ε-Tensors div(rot F ~ ) = X

i

∂

_i

X

j,k

ε

_i,j,k

∂

_j

F

_k

= X

i,j,k

ε

_i,j,k

∂

_i

∂

_j

F

_k

Vertauschung der Indizes i, j = ⇒ X . . . = X

ε ∂ ∂ F = − X

. . .

(4)

(iii) rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~ : x-Komponente

∂

y

(rot F ~ )

z

− ∂

z

(rot F ~ )

y

= (∂

y

∂

x

F

y

− ∂

y

∂

y

F

x

) − (∂

z

∂

z

F

x

− ∂

z

∂

x

F

z

) addiere und subtrahiere den Term ∂

_x

∂

_x

F

_x

erste Komponente der behaupteten Formel:

∂

_x

(div F ~ ) − ∆F

_x

analoge Behandlung der anderen Komponenten (iv) grad(UV ) = U grad V + V grad U Produktregel = ⇒

∂

_k

(UV ) = (∂

_k

U)V + U (∂

_k

V )

(5)

(v) div(U F ~ ) = U div F ~ + F ~ · grad U : Produktregel = ⇒

div(U F ~ ) = ∂

x

(UF

x

) + ∂

y

(UF

y

) + ∂

z

(UF

z

)

= U ∂

_x

F

_x

+ U ∂

_y

F

_y

+ U∂

_z

F

_z

+ F

_x

∂

_x

U + F

_y

∂

_y

U + F

_z

∂

_z

U

= U div F ~ + F ~ · grad U (vi) div( F ~ × G ~ ) = G ~ · rot F ~ − F ~ · rot G ~ : Definition des Kreuzproduktes und Produktregel

div( F ~ × G ~ ) = X

i,j,k

ε

_i,j,k

((∂

_i

F

_j

)G

_k

+ [F

_j

(∂

_i

G

_k

)])

Zyklizit¨ at von ε und Vertauschung von i , j im zweiten Term [. . .]

X ε G ∂ F + X

ε F ∂ G

(6)

(vii) rot(U F ~ ) = U rot F ~ − F ~ × grad U : x-Komponente von rot(U F ~ ),

∂

y

(UF

z

) − ∂

z

(UF

y

) = (∂

y

U )F

z

− (∂

z

U )F

y

+ U ∂

y

F

z

− U ∂

z

F

y

, entspricht x-Komponente von

U rot F ~ + (grad U ) × F ~ zyklische Vertauschung behauptete Identit¨ at

(7)

Beispiel:

illustriere die Identit¨ at rot(U F ~ ) = U rot F ~ − F ~ × grad U f¨ ur U = z, F ~ = (−y , x, 1)

^t

(i) Linke Seite:

rot(U F ~ ) = rot





−yz xz

z



 =



 0 − x

−y − 0 z + z



 =





−x

−y 2z





(ii) Rechte Seite:

U rot F ~ − F ~ × grad U = z rot





−y x 1



 −





−y x 1



 × grad z

(8)

Beispiel:

Illustration der Identit¨ at rot(rot F ~ ) = grad(div F ~ ) − ∆ F ~ f¨ ur das Vektorfeld