b) Fur welche Matrizen A erhalt man eine Gerade (d.h

Fachbereich Mathematik und Informatik Sommersemester 2010 Universitat Marburg

Prof. Dr. H. Upmeier

Komplexe und harmonische Analysis { Blatt 6 {

Abgabe Montag, 7.6.2010 im Tutorium

Aufgabe 21. (4 Punkte)

In der Vorlesung waren "Kreise\ in C mittels einer Matrix A 2 C²²mit A = A, det A < 0 durch

C_A=

z 2 C

(z;1)A z1

= 0

beschrieben worden.

a) Zeige, dass jede solche Matrix A einen (nicht-leeren) Kreis bzw. Gerade beschreibt.

b) Fur welche Matrizen A erhalt man eine Gerade (d.h. 1 2 C)?

c) Fur welche Matrizen A erhalt man einen Grokreis?

Aufgabe 22. (4 Punkte)

Fur n 2 sei Pⁿ= P(Cⁿ⁺¹) der projektive Raum aller Geraden Cv, mit v = (v₀; : : : ; v_n) 2 Cⁿ⁺¹n f0g. Fur 0 i n sei

Ui :=

C vv 3 Cⁿ⁺¹; vi 6= 0 :

a) Deniere, analog zur Vorlesung (n = 1), eine bijektive "Karte\

_i : Cⁿ! U_i : b) Bestimme die durch das kommutative Diagramm

Cⁿ

^j_i

i

H $$H HH H

Ui\ Uj

Cⁿ

j

v ::v vv v

denierten Ubergangsfunktionen _i^j sowie den zugehorigen Denitionsbereich und Bildbereich. In welchem Sinne sind die ^j_i "biholomorph\?

b/w

Aufgabe 23. (4 Punkte) Fur die "Planck'sche Konstante\ ~ > 0 besteht der "modizierte\ Fock-Raum H^~2(C) aus den holomorpen Funktionen : C ! C mit

Z

Cdz e ^jzj2=~j (z)j² < +1 a) Bestimme eine Konstante c_~> 0, so dass

d~(z) = c~ e ^jzj2=~dz ein W-Ma ist.

b) Fur das innere Produkt

h ₁j ₂i_~ := c_~ Z

Cdz e ^jzj2=~ ₁(z) ₂(z) berechne hzⁿj zⁿi_~ (n 0), und bestimme eine ONB von H_~²(C).

c) Bestimme die reproduzierende Kernfunktion K~(z; w) von H_~²(C).

Aufgabe 24. (4 Punkte)

Sei H ein separabler C-Hilbertraum und : G ! U(H) eine unitare Darstellung. Ein linearer Operator T : H ! H heit Hilbert-Schmidt Operator, falls

Spur TT = X

n

hT nj T ni < +1 :

Hier ist (n) eine beliebige ONB von H. Der Raum L²(H) aller Hilbert-Schmidt Opera- toren ist ein Hilbertraum mit Skalarprodukt

hS j T i = Spur ST =X

n

hS_nj T _ni (ohne Beweis). Zeige, dass

~(g)T := (g)T (g) ¹ eine unitare Darstellung von G auf L²(H) deniert.

Hinweis: Fur HS-Operatoren gelten die ublichen Eigenschaften einer Spur, oder man benutze die Tatsache, dass die obigen Reihen unabhangig von der Auaswahl der ONB (n) ist.