October 15, 2013 1
EINF ¨UHRUNG IN DAS MATHEMATISCHE ARBEITEN
zu 4.1 Rechenregeln f¨ ur Mengen
Michael Grosser
A, B und C seien Teilmengen einer Universalmenge U. Kommutativgesetze: A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
Assoziativgesetze: A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Distributivgesetze: A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) Verschmelzungsgesetze: A∪(B∩A) =A
A∩(B∪A) =A Idempotenzgesetze: A∪A=A
A∩A=A Neutralit¨atsgesetze: A∪ ∅=A
A∩U =A Absorptionsgesetze: A∪U =U A∩ ∅=∅ Komplementarit¨atsgesetze: A∪Ac=U
A∩Ac=∅ Dualit¨atsgesetze: ∅c=U
Uc=∅ Doppelnegationsgesetz: (Ac)c=A
Gesetze von De Morgan: (A∪B)c=Ac∩Bc (A∩B)c=Ac∪Bc
Die Teilmengen von U bilden also mit ∅,U,∩,∪ und{ eine Boolesche Alge- bra. — Die obige Tabelle von Rechenregeln ist v¨ollig analog aufgebaut wie die Tabelle zu den Regeln f¨ur Boolesche Algebren — nicht zuf¨allig, sondern aus gutem Grund: Die Mengenoperationen sind ja ¨uber die entsprechenden logischen Operationen f¨ur die Mengenmitgliedschaften definiert.
EmA: Implikation 15. Oktober 2013 2
Rechenregeln ohne Universalmenge: Alle 12 Formeln, die weder das Komplement noch die Universalmenge enthalten, werden unge¨andert ¨uber- nommen. Das Komplement wird (in den betreffenden 7 Formeln) in ge- eigneter Weise durch eine Mengendifferenz und U — wo es in einer dieser Formeln vorkommt — durch passende andere Mengen ersetzt. Diezwei ver- bleibenden Formeln, n¨amlich das zweite Neutralit¨atsgesetz und das erste Absorptionsgesetz, entfallen ersatzlos: W¨urde man bei diesen beiden analog zu den anderen Modifikationen U ebenfalls durch A ersetzen, erhielte man A∩A =A beziehungsweise A∪A = A, die aber nur Wiederholungen dar- stellen w¨urden. — A, B und C seien nun beliebige Mengen.
Kommutativgesetze: A∪B =B∪A A∩B =B∩A
Assoziativgesetze: A∪(B∪C) = (A∪B)∪C A∩(B∩C) = (A∩B)∩C Distributivgesetze: A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C) Verschmelzungsgesetze: A∪(B∩A) =A
A∩(B∪A) =A Idempotenzgesetze: A∪A=A
A∩A=A Neutralit¨atsgesetze: A∪ ∅=A
[leer]
Absorptionsgesetze: [leer]
A∩ ∅=∅
Komplementarit¨atsgesetze: A∪(C\A) =A∪C A∩(C\A) =∅ Dualit¨atsgesetze: C\ ∅=C
C\C=∅
Doppelnegationsgesetz: C\(C\A) = A∩C
Gesetze von De Morgan: C\(A∪B) = (C\A)∩(C\B) C\(A∩B) = (C\A)∪(C\B)
S¨amtliche Beweise erfolgen durch Mengentafeln oder durch Zur¨uckf¨uhren auf die entsprechenden Gesetze der Aussagenlogik.
