Lokalisierung f¨ur zuf¨allige Schr¨odinger Operatoren

Lokalisierung f¨ ur zuf¨ allige Schr¨ odinger Operatoren

Spezialisierungspraktikum in der mathematischen Physik

Von der Professur f¨ ur Stochastik an der Fakult¨ at f¨ ur Mathematik wird ein Physik-Spezialisierungspraktikum zu dem folgenden Thema angeboten.

Betreuung und Kontaktdaten

Die beschriebenen Praktika werden von Martin Tautenhahn und Ivan Veseli´ c betreut.

Dipl.-Phys. Martin Tautenhan Telephon: 0371-531-37196

Reichenhainer Str. 41, Raum 703

martin.tautenhahn AT s2001.tu-chemnitz.de Prof. Dr. Ivan Veseli´ c

Telephon: 0371-531-32708

Reichenhainer Str. 41, Raum 709/710 ivan.veselic AT mathematik.tu-chemnitz.de

Allgemeines

F¨ ur die Bearbeitung des vorgestellten Themas ben¨ otigt man Vorwissen, welches dem Stoff des Vorlesungszyklus Analysis und lineare Algebra bzw. Mathematik f¨ ur Physiker und Quantenmechanik entspricht.

Ziel des Praktikums ist es, dass sich der/die Student(in) das jeweilige Thema selbstst¨ andig mit Hilfe der gebotenen Betreuung erarbeitet und dies in zwei Vortr¨ agen und einer ca.

15- bis 30-seiteigen Ausarbeitung in L

TEXpr¨asentiert. Gegebenfalls kann das Praktikum auch einen kleinernen Programmierteil enthalten.

Interessenten k¨ onnen sich gern vorab ¨ uber die Details des Praktikums informieren.

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Themenbeschreibung

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Elektrons durch eine komplexwertige Wellenfunktion beschrieben, deren Zeitentwicklung durch die zeitabh¨ angige Schr¨ oginger- Gleichung gegeben ist. In die Schr¨ odinger-Gleichung geht der Schr¨ odinger-Operator H = −∆ + V ein, welcher sich additiv aus dem negativem Laplaceoperator und dem Multiplikationsoperator der potentiellen Energie zusammensetzt.

Will man ungeordnete Festk¨ orper modellieren, so f¨ uhrt dies zum Studium von Schr¨ o- dinger-Operatoren mit einem zuf¨ alligen Potential, welches von einem Parameter abh¨ angt, der die St¨ arke der Unordnung modelliert. Der Prototyp eines solchen Operators ist das Anderson Modell [1]. Das Anderson Modell beschreibt ein Elektron, welches sich auf Z

unter dem Einfluß eines zeitunabh¨ angigen zuf¨ alligen elektrischen Potentiales bewegt.

Es stells sich heraus, daß das Anderson-Modell im Falle niedriger Unordnung ein “Metall”

beschreibt und im Falle hoher Unordnung einen “Isolator”. Dieser Phasen¨ ubergang wird oft als Metall-Isolator- ¨ Ubergang oder Anderson-transition bezeichnet. Mathematisch manifestiert sich dies in spektralen Eigenschaften des zuf¨ alligen Operators. Genauer gesagt besitzt das Anderson-Modell (fast sicher) nur reines Punktspektrum im Falle gen¨ ugend hoher Unordnung. Dieses Ph¨ anomen nennt man Anderson-Lokalisierung. Um diesen Effekt rigoros zu beweisen gibt es zwei Methoden: die Multiskalenanalyse und die fraktionale Momentenmethode.

Ziel des Praktikums ist

• die Ausarbeitung des mathematischen Rahmen des Anderson-Modelles (Therie selbstadjungierter Operatoren, Spektraltheorie, zuf¨ allige Operatoren),

• die Ausarbeitung eines Lokalisierungsbeweises gem¨ aß der fraktionalen Momenten- methode [3],

• die Formulierung aktueller Forschungsfragen, die sich stellen wenn man Verallge- meinerungen des klassischen Anderson-Operators betrachtet [2].

Literatur

[1] P. W. Anderson. Absence of diffusion in certain random lattices. Phys. Rev., 109:1492–

1505, 1958.

[2] A. Elgart, M. Tautenhahn, and I. Veseli´ c. Localization via fractional moments for models on Z with single-site potentials of finite support. J. Phys. A: Math. Theor., 43:474021, 2010.

[3] G. M. Graf. Anderson localization and the space-time characteristic of continuum states. J. Stat. Phys., 75:337–346, 1994.

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