Ubungen zur Vorlesung ¨ Zuf¨ allige Fraktale

Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2012

Ubungen zur Vorlesung ¨ Zuf¨ allige Fraktale

Ubungsblatt 2¨

Hausdorffmetrik & IFS

Aufgabe 2.1. (6 Punkte)

(a) Bestimme d_H {0},[_n¹,_n²] .

(b) Finde endliche MengenAn⊆[0,1] undAn→[0,1] inK [0,1]

(alsod_H An,[0,1]

→0).

(c) SeiXein metrischer Raum,A∈ K(X) und (A_n)_n∈Neine Folge inK(X) mitdH(An, A)→ 0. Zeige, dass

A =

x∈X

∃x_n∈A_n:x_n→x . (d) Zeige: Ist X kompakt, so istK(X) kompakt.

Aufgabe 2.2 (Konstruktion von IFS). (6 Punkte)

Es seien folgende Mengen gegeben:

(a) Bestimme f¨ur obige 3 Mengen jeweils ein IFS, das sie als Attraktor hat.

(b) Sei jeweils π die Adressierungsabbildung und [1,2] = {a ∈ S^N | a₁ = 1, a₂ = 2}.

Markiere f¨ur jede der 3 Mengenπ [1,2]

.

Aufgabe 2.3. (6 Punkte) SeiX=R² und betrachte

ϕ₁(x) = 1

2x ϕ₂(x) = 1 2

x₁+ ¹₂ x₂+

√ 3 2

!

, ϕ₃(x) = 1 4

−1 −√

√ 3 3 −1

x₁ x₂

+

1 0

.

Wie ¨ublich sei Φ(A) =S3

k=1ϕ_k(A). Sei A0 = [0,1]× {0},An= Φ(An−1),n∈N. (a) Zeige, dass Φ genau einen kompakten Fixpunkt hat.

(b) Skizziere A₁ und A₂.

Betrachte nun das IFS (ϕ₁, ϕ₂) aufR² mit

ϕ1(x) = 1 6

cos(^5π₆ ) −sin(^5π₆ ) sin(^5π₆ ) cos(^5π₆ )

x+

1 0

, ϕ2(x) = 24 25

cos(₁₂^π) −sin(₁₂^π) sin(₁₂^π) cos(₁₂^π)

x.

(c) Zeige, dass 0∈K, wobeiK der Attraktor des IFS ist.

(d) Berechne die Kontraktionskonstante des IFS.

(e) Sei A0 ={0},An = Φ(An−1). Aus wie vielen Punkten besteht A20? Ist A20 eine gute Ann¨aherung an den AttraktorK?

Abgabe bis Mi, 02.05.2012