IFS & Topologische Dimension

Wolfgang L¨ohr Sommersemester 2012

Ubungen zur Vorlesung ¨ Zuf¨ allige Fraktale

Ubungsblatt 3 ¨

IFS & Topologische Dimension

Aufgabe 3.1 (Modifikation affiner IFS). (6 Punkte)

Sei (ϕ1, . . . , ϕN) ein IFS aufX =Rⁿ mit affinen Abbildungen, also ϕi(x) =Aix+bi mit Ai∈R^n×n, bi ∈Rⁿ. Analog sei ( ˆϕ1, . . . ,ϕˆN) definiert durchAbi, ˆbi. Die Attraktoren seienK undK.b

(a) Zeige im FallAbi =Ai und ˆbi=rbi f¨urr∈Rdass

Kb = rK := {rx|x∈K},

also dass eine Multiplikation der Verschiebungen mit r zu einer zentrischen Streckung des Attraktors mit Faktorr f¨uhrt.

(b) Sei n= 2,N = 3,Aix= ¹₂xf¨uri= 1,2,3,b1= 0, b2= (¹₂,0)^T, b3 = (¹₄,¹₂)^T. BestimmeAbi

und ˆbi so, dass

Kb = K+ 1

1

,

der Attraktor also um jeweils 1 nach rechts und oben verschoben wird.

(c) SeiU ∈R^n×n eine invertierbare Matrix. BestimmeAbi und ˆbi so, dass Kb = U K := {U x|x∈K},

der Attraktor also mitU transformiert wird.

Aufgabe 3.2 (Adressabbildung). (6 Punkte)

Sei (ϕ1, . . . , ϕN) ein IFS mit Attraktor K, S = {1, . . . , N}, und π: S^N → K die zugeh¨orige Adressabbildung.

(a) Betrachte das standard IFS f¨ur ein gleichseitiges Sierpinski Dreieck, alsoN = 3, undϕi(x) =

1

2x+bi mit b1= 0, b2= ¹₂ cosω

sinω

, b3 = ¹₂ 1

0

, wobei ω = ¹₃π. Bestimme die Menge der Adressen von [0,1]× {0}, also

a∈S^Nπ(a)∈[0,1]× {0} .

(b) Betrachte nun das modifizierte IFS f¨ur den selben Attraktor aus Aufgabe 2.3, alsoϕ1, ϕ2

wie in (a), aber

ϕ3(x) = 1 2

cos(2ω) −sin(2ω) sin(2ω) cos(2ω)

x+

1 0

.

Bestimme wieder die Menge der Adressen von [0,1]× {0}.

(c) Eine Adressea= (ak)k∈N ∈S^N heisst periodisch, wenn es (eine Periode)m∈ N gibt mit ak =ak+m f¨ur alle k∈ N. Zeige, dass die Punkte mit periodischen Adressen dicht liegen, also dass es f¨ur jedesx∈Keine Folgexn

n→∞−→ xinKgibt, so dass jedesxn eine periodische Adresse besitzt (ein periodischesa⁽ⁿ⁾mit π(a⁽ⁿ⁾) =xn).

Aufgabe 3.3 (Topologische Dimension). (6 Punkte) (a) Berechne die topologische Dimension vonS^N, wobei S eine endliche Menge ist.

(b) SeienX,Y metrische R¨aume undf:X →Y ein Hom¨oomorphismus (also stetig, bijektiv mit stetiger Umkehrabbildung). Zeige, dass X undY dieselbe topologische Dimension besitzen.

(c) Sei (ϕ1, . . . , ϕN) ein IFS auf einem vollst¨andigen metrischen Raum X mit Attraktor K.

Ferner seien alleϕiinjektiv undϕi(K)∩ϕj(K) =∅f¨uri6=j. Zeige, dass dimT(K) = 0 gilt.

Abgabe bis Mi, 23.05.2012 in der ¨Ubung