Ubungsblatt 3 ¨ , Abgabe am Fr. 9.11.12 nach der Vorlesung, Besprechung in den ¨ Ubungen am 14.11.12/16.11.12.

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨uller, H. M¨unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 3 ¨ , Abgabe am Fr. 9.11.12 nach der Vorlesung, Besprechung in den ¨ Ubungen am 14.11.12/16.11.12.

1

Gegeben sei der OperatorP in einem zusammengesetzten System zweier Spins= 1/2 OperatorenS~ˆi

(eine Minispinkette):

Pˆ:= 1 2

1+ 4

~²

~ˆ S₁·S~ˆ₂

,

a) Man berechne ˆP|m1, m2i. Was folgt daraus f¨ur ˆP² und welche Eigenwerte besitzt ˆP? Hierbei sind

|m1, m2i:=|m1i ⊗ |m2idie gemeinsamen Eigenvektoren von ˆS1,z und ˆS2,z. b) Bestimmen Sie die Spur von ˆP!

2

Seien die Pauli-Matrizen definiert durch σ1≡σx:=

0 1

1 0

, σ2≡σy :=

0 −i

i 0

, σ3≡σz:=

1 0

0 −1

. F¨ur~x∈R³ definieren wirσ(~x) als die 2×2 Matrixσ(~x) :=~x·~σ=x1σ1+x2σ2+x3σ3. Beweisen Sie die folgende Identit¨aten:

a) σ_aσ_b=δ_ab1+i_abcσ_c.

b) σ(~x)σ(~y) = (~x·~y)1+iσ(~x×~y).

c) [σa, σb] = 2iabcσc und{σa, σb}= 2δab1.

3

Sei~n∈R³ein Einheitsvektor undφeine reelle Zahl. Wir definieren den OperatorU_~n(φ) :=e^iφ~~n·S~. a) Beweisen Sie die Identit¨at

U_~n(φ) = cosφ

21+isinφ 2σ(~n).

Hinweis: Verwenden Sie Teil a) von Aufgabe 2.

b) Beweisen Sie, dass

U_~n(φ)σ(~x)U_~n(φ)^†=σ(~n)(~n·~x) + (σ(~x)−(~n·~x)σ(~n)) cosφ+σ(~n×~x) sinφ.

c) Beweisen Sie, dass f¨ur alleA∈U(2) gilt:Aσ(~x)A^† =σ(O·~x),wobei O∈O(3).

Zur Erinerrung:U(2) :={A∈M(2×2,C) :AA^†=1}undO(3) :={A∈M(3×3,R) :AA^t=1}.

Hinweis: Berechnen Sie detσ(~x).

d) Berechnen Sie f¨ur einen beliebigen Spinor

α₊

α₋

den durch α⁰₊

α⁰₋

:=U_~n(φ)

α₊

α₋

definierten, transformierten Spinor f¨ur~n=~e_z.