Ubungen zur Vorlesung ¨

Christian Sohler Paderborn, den 11. Mai 2007

u.v.a. Abgabe 21. Mai 2007

Ubungen zur Vorlesung ¨

Datenstrukturen und Algorithmen SS 2007

Blatt 4

AUFGABE 14:

Wir betrachten das in der Vorlesung vorgestellte Probleml¨angste gemeinsame Teilfolge. Dabei sind als Eingabe zwei Folgen X = (x1, x2,· · ·, xm) und Y = (y1, y2,· · ·, yn) gegeben und gesucht ist eine l¨angste gemeinsame Teilfolge von X und Y. In der Vorlesung ist bereits ein Algorithmus angegeben worden, der dieses Problem mit Hilfe dynamischer Programmierung l¨ost. Dieser Algorithmus berechnet ein zweidimensionales Array C[0· · ·, m][0· · ·, n], wobei in C[i][j] die L¨ange einer l¨angsten gemeinsamen Teilfolge von X = (x₁, x₂,· · ·, x_i) und Y = (y₁, y₂,· · ·, y_j) gespeichert wird. Berechnen Sie das zweidimensionale ArrayCf¨ur die Eingabe X = (B, C, E, F, C, A, B) undY = (A, B, E, D, F, B, A) und geben Sie hierbei auch die Pfeile

←, ↑ und - an. Geben Sie anschließend eine l¨angste gemeinsame Teilfolge von X und Y aus.

AUFGABE 15:

Als etwas komplexeren Fall betrachten wir nun das maximale Teilsummenproblem. Dabei ist als Eingabe eine Folge A = ha₁, a₂, . . . , a_ni ganzer Zahlen a_i ∈ Z gegeben. Gesucht ist die maximale Summe einer zusammenh¨angenden Teilfolge ha`, a`+1, . . . , ari von A, also

max (Xr

i=`

a_i 1≤`≤r ≤n )

.

a) Geben Sie einen naiven Algorithmus im Pseudocode an, der das Problem in Zeit Θ(n³) l¨ost.

b) Bezeichne zun¨achstR(k) = maxnP_k

i=`a<sub>i</sub> 1≤`≤k o

die maximale rechte Randsum- me in ha₁, a₂, . . . , a_ki, d.h. die maximale Teilsumme, die genau in a_k endet. Finden Sie eine rekursive Formulierung f¨ur R(k).

c) Geben Sie mit den Methoden der dynamischen Programmierung einen effizienten Al- gorithmus zur Berechnung von R(k) an.

d) BezeichneS(k) den Wert der maximalen Teilsumme in ha₁, a₂, . . . , a_ki. Finden Sie eine rekursive Formulierung f¨ur S(k). Verwenden Sie dabei gegebenenfalls R.

e) Geben Sie mit den Methoden der dynamischen Programmierung einen effizienten Al- gorithmus zur Berechnung der maximalen Teilsumme von A an.

AUFGABE 16:

Ein Konzern mit n Tochtergesellschaften hat ein Budget von B Euro f¨ur Investitionen. Jede Tochtergesellschafti∈ {1, . . . , n}¨ubermittelt genau 2 Projektvorschl¨age an die Konzernzen- trale, wobei der j-te Projektvorschlag (j ∈ {1,2}) Kosten k_i,j verursacht und einen Gewinn von gi,j verspricht. Die Konzernzentrale muss jetzt eine Auswahl von Projektvorschl¨agen finden,

• die den zu erwartenden Gewinn maximiert,

• die den Budgetrahmen nicht ¨ubersteigt und

• die (aus Gerechtigkeitsgr¨unden) h¨ochstens einen Projektvorschlag je Tochtergesellschaft enth¨alt.

Formal l¨asst sich das Problem wie folgt formulieren:

Maximiere

Xn

i=1

(gi,1xi,1+gi,2xi,2)

unter den Bedingungen

Xn

i=1

(k_i,1x_i,1+k_i,2x_i,2) ≤ B x_i,1+x_i,2 ≤ 1

xi,1, xi,2 ∈ {0,1}

a) Geben Sie eine rekursive Formel f¨ur ein dynamisches Programm zur Berechnung des maximalen Gewinns an. Begr¨unden Sie kurz die Korrektheit Ihrer Formel.

Hinweis: Sie k¨onnen beispielsweise folgende Teilprobleme verwenden:G(n⁰, B⁰) bezeich- ne den maximalen Gewinn, den man mit den Projektvorschl¨agen der Tochtergesellschaf- ten 1, . . . , n⁰ bei einem Budget von B⁰ erzielen kann.

b) Entwerfen Sie einen Algorithmus in Pseudocode f¨ur dieses dynamische Programm. Wel- che Projektvorschl¨age ausgew¨ahlt werden, muss dabei nicht berechnet werden. Nur der maximale Gewinn ist zu berechnen.

c) Bestimmen Sie die Laufzeit Ihres Algorithmus im Θ-Kalk¨ul.