Ubungen zur Vorlesung ¨

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2009/10 Blatt 3

Ubungen zur Vorlesung ¨

Nichtglatte Optimierung und Anwendungen

G7. Schnittebenen-Verfahren

Wenden Sie das Schnittebenen-Verfahren auf das folgende Problem an und veranschaulichen Sie sich den Lauf grafisch:

min f(x) u.d.N. 0≤x≤8 mitf(x) = max{4−x,3−x/2, x−3}undx⁰ = 0.

G8. Berechnung desε-Subdifferentials

Berechnen Sie dasε-Subdifferential der Funktionf(x) = |x|f¨ur alle Punktex ∈Rund alle ε≥0.

G9. Regularisierung und Trust-Region Problem

Es seif :Rⁿ→Rkonvex undx∈Rⁿfest. Betrachte zuγ >0das Problem mins f(x+s) + 1

2γksk²₂. (Pγ)

Zeigen Sie:

a) (P_γ) besitzt eine eindeutige L¨osungs_γ.

b) Istsγdie L¨osung von (Pγ), dann existiert∆>0, so dasssγdas folgendeTrust-Region- Probleml¨ost:

mins f(x+s) u. d. Nebenbed. ksk₂≤∆. (T∆) c)^∗ Die Funktionγ 7→ ks_γk₂ist monoton wachsend und stetig.

Bemerkung:c) ist ein bisschen schwieriger zu zeigen. Sie k¨onnen zun¨achst unter Ver- wendung von c) mit d) fortfahren.

d) Ist umgekehrt zu∆>0der Punkts¯eine L¨osung von (T∆), so dass¯snach Vergr¨oßern von∆keine L¨osung bleibt, dann ists¯f¨ur geeignetesγ >0die L¨osung von (Pγ).

Bitte wenden!

Hausaufgaben:

H5. Endlicher Abbruch des Schnittebenen-Verfahrens

SeiX⊂Rⁿnichtleer, konvex und kompakt. Das Schnittebenen-Verfahren werde angewendet, um die st¨uckweise lineare Funktion

f :Rⁿ→R, f(x) = max

1≤i≤ma^T_i x+b_i

mitai ∈Rⁿ,bi ∈RaufX⊂Rⁿzu minimieren. Hierbei werde jeweils der Subgradient g^k∈ {a_i : f(x^k) =a^T_i x^k+b_i}

gew¨ahlt. Zeigen Sie, dass das Verfahren nach endlich vielen Iterationen eine globale L¨osung findet.

H6. Berechnung desε-Subdifferentials

Berechnen Sie f¨ur die Funktionf(x) = (|x|+ 1)²dasε-Subdifferential∂εf(0)f¨ur alleε≥0.