Zeigen Sie, dass die allgemeine L¨osung der Differenzengleichung α0Un+α1Un+1

MATHEMATISCHESINSTITUT

PROF. DR. CHRISTIANEHELZEL

DAVIDKERKMANN

6. JUNI2019

34 35 36 37 Σ

NAME: MAT-NR.:

Numerik gew¨ohnlicher Differentialgleichungen – 10. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 34: (8 Punkte)

Untersuchen Sie die folgenden linearen Mehrschrittverfahren auf Konvergenz.

(a) Uⁿ⁺²= ¹₂Uⁿ⁺¹+¹₂Uⁿ+ 2kf(Uⁿ⁺¹) (b) Uⁿ⁺¹=Uⁿ

(c) Uⁿ⁺⁴=Uⁿ+⁴₃k(f(Uⁿ⁺³) +f(Uⁿ⁺²) +f(Uⁿ⁺¹)) (d) Uⁿ⁺³=−Uⁿ⁺²+Uⁿ⁺¹+Uⁿ+ 2k(f(Uⁿ⁺²) +f(Uⁿ⁺¹))

Aufgabe 35: (6 Punkte)

Es seien ζ1, . . . , ζl Nullstellen der Vielfachheit m1, . . . , ml des charakteristischen Polynoms ρ(ζ).

Zeigen Sie, dass die allgemeine L¨osung der Differenzengleichung α0Uⁿ+α1Uⁿ⁺¹+. . .+αrU^n+r= 0 die Form

Uⁿ=p₁(n)ζ₁ⁿ+. . .+p_l(n)ζ_lⁿ

hat. Dabei seien f¨urj∈ {1, . . . , l} diep_j(n) Polynome vom Grad m_j −1.

Aufgabe 36: (6 Punkte)

Eine Fibonacci Folge erh¨alt man durch die Bildungsvorschrift F_n+1 =F_n+Fn−1

mitF0 = 0 undF1= 1.

Zeigen Sie, dass f¨ur große n das Verh¨altnis F_n/Fn−1 gegen den goldenen Schnitt (φ ≈ 1.618034) strebt.

Aufgabe 37: (6 Punkte)

Betrachten Sie f¨urα∈Rdas explizite lineare 3-Schritt Verfahren Uⁿ⁺³+αUⁿ⁺²−αUⁿ⁺¹−Uⁿ= k

2(3 +α) f(Uⁿ⁺²) +f(Uⁿ⁺¹) .

(a) Bestimmen Sie alle α∈R, sodass das Verfahren nullstabil ist.

(b) Bestimmen Sieα∈R, sodass das Verfahren eine m¨oglichst hohe Konsistenzordnung besitzt und geben Sie die maximale Konsistenzordnung an. Zeigen Sie außerdem, dass dieses Verfahren exakt die Konsistenzordnung p= 2 hat, wenn es nullstabil ist.

Abgabe am 13. Juni 2019 am Beginn der Vorlesung.

Abgabe der Programmieraufgaben bis zum 13. Juni 2019 um 10:30 Uhr an david.kerkmann@hhu.de.

Besprechung in den ¨Ubungen am 18. Juni 2019.