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Zeigen Sie, dass Gabelsch ist

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Fachbereich Mathematik und Statistik Jun.-Prof. Dr. Arno Fehm

Lothar Sebastian Krapp WS 2015 / 2016

Übungen zur Vorlesung Algebra (B3)

Blatt 8

Ordnung von Gruppen und Normalteiler

Sei Gstets eine Gruppe.

Aufgabe 29 (4 Punkte)

Wir definieren exp(G), den Exponenten vonG, durch

exp(G) := inf{n∈N| ∀g∈G:gn= 1}. a) Sei exp(G)<∞. Zeigen Sie, dass für allegG gilt: ord(g)|exp(G).

b) Sei exp(G) = 2. Zeigen Sie, dass Gabelsch ist.

c) Finden Sie Gruppen H1 und H2 mit #H1 = #H2 = 9 und Exponenten exp(H1) = 9 und exp(H2) = 3.

Aufgabe 30 (4 Punkte) Zeigen Sie:

a) Ist p∈Nprim und #G=p, dann istG zyklisch.

b) Ist HGeine Untergruppe mit (G:H) = 2, dann istH ein Normalteiler vonG.

c) Sei p∈Nprim mitp≥3. Sei #G= 2pund seien r, sGmit ord(r) = 2 und ord(s) =p. Dann ist hsi ein Normalteiler von G. Folgern Sie, dass es ein k ∈ N mit der Eigenschaft (rs)2 = sk gibt.

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(2)

Aufgabe 31 (4 Punkte)

Sei HG. Zeigen Sie:

a) K :=Tg∈GHg ist ein Normalteiler von Gmit KH, und jeder in H enthaltene Normalteiler von Gist in K enthalten.

b) NG(H) :={g∈G:Hg =H}ist eine Untergruppe vonGmitHENG(H), und jede Untergruppe Lvon GmitHEL ist in NG(H) enthalten. Man nenntNG(H) den Normalisator von H.

Aufgabe 32 (4 Punkte)

Eine Untergruppe H von G bezeichnen wir alscharakteristisch, in Zeichen HcharG, wenn für alle σ ∈Aut(G) gilt:Hσ =H. Zeigen Sie:

a) Ist HcharK und ist KcharG, so ist HcharG. (Transitivität von char.) b) Ist HcharK und ist KEG, so ist HEG.

c) Seien r = 1 2 3 4 2 3 4 1

!

, s = 1 2 3 4 2 1 4 3

!

S4 (vgl. B1, IV.1.1). Sei D4 := hr, si ≤ S4 dieDiedergruppe vom Grad 4 und sei V4 =r2, sD4 dieKleinsche Vierergruppe. Dann sind

#D4= 8 und #V4 = 4. Zeigen Sie zudem, dassV4 ∼=Z/2Z×Z/2Zundhsi ∼=Z/2Z. Folgern Sie, dasshsiEV4ED4, aber hsi kein Normalteiler vonD4 ist.

Abgabe: Montag, 21. Dezember 2015, 10:00 Uhr, Briefkästen auf F4.

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