L¨osung zu den ¨Ubungsbeispielen aus der 1. Vorlesung

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L¨osung zu den ¨ Ubungsbeispielen aus der 1. Vorlesung

Die folgende ¨ Ubungsaufgaben 1.1 und 1.2 stammen aus den Folien zur ersten Vor- lesung.

Ubungsbeispiel 1.1 ¨

Entwicklung von 3 konkreten Aktienkursen in einem festen Zeitraum an einer be- stimmten B¨ orse.

S

= { Wert der Aktie i steigt }

Ges.: Darstellung der folgenden Ereignisse durch die Ereignisse S

.

ˆ A = { Wert aller 3 Aktien steigt } .

ˆ B = { Wert keiner der 3 Aktien steigt } .

ˆ C = { Wert mindestens einer der 3 Aktien steigt } .

ˆ D = { Wert genau einer der 3 Aktien steigt } .

ˆ E = { Wert aller 3 Aktien f¨ allt oder bleibt gleich } .

L¨ osung: Es gilt

ˆ A = S

∩ S

∩ S

ˆ B = S

∩ S

∩ S

ˆ C = S

∪ S

∪ S

(C = B)

ˆ D = ( S

∩ S

∩ S

) ∪ (S

∩ S

∩ S

) ∪ (S

∩ S

∩ S

)

ˆ E = B = S

∩ S

∩ S

◻

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Ubungsbeispiel 1.2 ¨

F¨ ur die Ereignisse A und B zu einem Zufallsexperiment seien folgende Wahrschein- lichkeiten bekannt:

P ( A ) = 0, 25, P ( B ) = 0, 45, P ( A ∪ B ) = 0, 5

Berechnen sie P ( A ∩ B ) , P ( A ∩ B ) und P (( A ∩ B) ∪ (A ∩ B )) ! L¨ osung:

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ∩ B (

” A und nicht B“) l¨ asst sich wie folgt berechnen:

P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B ) − P ( B )

= 0, 5 − 0, 45

= 0, 05

Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ∩ B ( ” Nicht A und nicht B“) l¨ asst sich wie folgt be- rechnen:

P ( A ∩ B ) = P ( A ∪ B )

= 1 − P ( A ∪ B )

= 1 − 0, 5

= 0, 5

Zur Berechnung der Wkt. von ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B ) be- rechnet man zun¨ achst die Wahrscheinlichkeit von A ∩ B .

P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∪ B )

= 0, 25 + 0, 45 − 0, 5

= 0, 2 Es gilt nun

P (( A ∩ B) ∪ (A ∩ B )) = P ( A ∪ B ) − P ( A ∩ B )

= 0, 05 − 0, 02

= 0, 3

◻