Mathematik II: Lineare Algebra und Systemanalyse ¨Ubungen SS 2005 Teil Systemanalyse
Dieter Imboden
¨Ubung 3, vom 20.04.2005 R ¨uckgabe am 26.05.2005
Aufgabe 1 L¨osung
1. Qualitativer Verlauf der Schadstoff-Konzentration im See (Handzeichnung):
Bereich I Bereich II Bereich III
C
in(t), C (t) [g m ]
-3Ko nz en tr at io n
Zeit t [a]
0 1 2 3 4 5 6
1.0 3.0 4.0 6.0 7.0
0.0 5.0
2.0
PSfrag replacements
2. Numerische Werte der Schadstoff-Konzentrationen zu den Zeiten
a, 4 a und 6 a nach Beginn der Einleitung berechnet f ¨ur
(exakt) und f ¨ur die N¨aherung
"!.
#
Werte berechnet mit
$%
2 a 4 a 6 a
in
&')(*,+.-1.89 4.48 3.55
#
Werte berechnet mit
"!
2 a 4 a 6 a
in
&')(*,+.-2.0 4
/+
102
3
34 562Aufgabe 2 L¨osung 1. Boxschema:
PSfrag replacements
78:9<;>=@?BACD7FEG= 78HF9I;J=@?K7FEG=?K7FEG=
L DNMO$
P 3 (
+.Q
PRS
T
L
P
U P
!DV
U R P R
!DV
WYX
3 ( + Q
4 (
X*W%"2@
Q>Z
["
Z
\ ]
_^%`ba
_^dce)f
')(*g+ Z
kl
Z
m@\
Bilanzgleichung:
nn U T U R o
2. Station¨arkonzentration
nqpf ¨ur den Fall dass
)'r(*,+f ¨ur alle
ksjist:
n
$ t U
T U
RI p $
t p U
U R
T
L klj
p
'r(*,+
W
6
'u( g+
3. Qualitativer Verlauf
1der Substanzkonzentration (Maximum bei
)5erv w
Z
):
0 5 10 15 20
0 0.025 0.05 0.075 0.1 0.125 0.15
PSfrag replacements
x
yz {|F} ~
p
4. Es gibt mehrere M¨oglichkeiten, diese Frage zu beantworten. Zwei davon sind:
(a) F ¨ur
hkh Zgilt
p
T g b
b
Das Maximum von liegt bei
Z:
ervw
Z r
p
>T
,
)$
6
'B(
,+
T
@
)l1
'r(
,+
Dieses ist gr¨osser als der Grenzwert. Letzerer wird also ¨uberschritten.
(b) Der Grenzwert liegt 20% unter
qp. Nach der Zeit
3d
! U R
0 Z
ist bereits bis auf 5%
an
pherangekommen, und liegt somit bereits vor Erreichen des Maximums (
) Z) ¨uber dem Grenzwert.
5. Zum Zeitpunkt
)1erv w
/ ^ 1
ervw
3
ervwk
! U R
0 Z
ist wieder auf ein Zwanzigstel des maximal erreichten Wertes abgesunken.
1
Die Abbildung zeigt das exakte Ergebnis. F ¨ur die richtige Beantwortung der Pr ¨ufungsfrage, gen ¨ugt es die exponentielle Ann¨aherung von
?K7FEG=
an den oben berechneten Wert von
?:[oI ¢¡
im Bereich
K£¤Er£d¦¥
und an die Nulllinie im Bereich
EB§b¥
, sowie einen stetigen Verlauf bei
Ejb¥
