Wend Werner
wwerner@uni-muenster.de
Thomas Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Mathematik f¨ur Physiker 2
Ubungsblatt 1, Abgabe bis 28. April 12 Uhr¨
Pr¨asenzaufgabe 1. (Symmetriegruppen) Wir betrachten ein regelm¨aßigesn-Eck in der Ebene, einen starren Tetraeder und einen starren W¨urfel mit jeweils durchnummerierten Ecken.
(a) Wie kann man jede Symmetrie dieser Figuren durch Elemente der Permutations- gruppenSn,S4 bzw. S8 beschreiben?
(b) Bestimmen Sie jeweils die Anzahl aller Symmetrien (einschließlich der Identit¨at), indem Sie ausnutzen, dass jede Symmetrie dadurch festgelegt ist, worauf sie die Ecke 1 und die Kante zwischen den Ecken 1 und 2 abbildet.
(c) K¨onnen Sie die Anzahl der Symmetrien von Tetraeder beziehungsweise W¨urfel auch bestimmen, indem Sie schauen, wohin eine fest ausgew¨ahlte Seitenfl¨ache abgebildet wird?
L¨osung: (a) Indem man f¨ur jede Symmetrie angibt, welche Ecke auf welche abgebildet wird, und dabei die Nummerierung verwendet.
(b)
• Regelm¨aßiges n-Eck: Es gibtnM¨oglichkeiten, die Ecke Nummer 1 auf eine andere Ecke abzubilden, mal 2 M¨oglichkeiten, ob sich das Bild der Kante zwischen den Ecken 1 und 2 im Uhrzeigersinn oder entgegenge- setzt anschließt, also insgesamt 2n Symmetrien.
• Starrer Tetraeder: Es gibt 4 M¨oglichkeiten f¨ur das Bild der Ecke 1, mal 3 M¨oglichkeiten f¨ur das Bild der Kante zwischen den Ecken 1 und 2, also 12 Symmetrien.
• Starrer W¨urfel: Es gibt 8 M¨oglichkeiten f¨ur das Bild der Ecke 1, mal 3 M¨oglichkeiten f¨ur das Bild der Kante zwischen den Ecken 1 und 2, also 24 Symmetrien.
(c)
• Tetraeder: Die fest gew¨ahlte Seitenfl¨ache kann auf eine beliebige der 4 Seit- enfl¨achen abgebildet und dabei dann auf 3 verschiedene Arten gedreht werden.
Zusammen ergibt das 12 M¨oglichkeiten.
• W¨urfel: Die fest gew¨ahlte Seitenfl¨ache kann auf eine beliebige der 6 Seitenfl¨achen abgebildet und dabei dann auf 4 verschiedene Arten gedreht werden. Zusammen ergibt das 24 M¨oglichkeiten.
Abzugeben sind alle Aufgaben 1–4.
