L¨ osung des ¨ Ubungsblattes 2 zur Vorlesung Theoretische Chemie I
WS 2018/19 – ¨ Ubungsblatt 2
1. Ψ(x) =ψ1(x) +ψ2(x) a)
P(x) =|Ψ(x)|2 = Ψ∗(x)·Ψ(x)
= [ψ1(x) +ψ2(x)]∗[ψ1(x) +ψ2(x)]
= [ψ∗1(x) +ψ∗2(x)] [ψ1(x) +ψ2(x)]
=ψ∗1(x)ψ1(x) +ψ∗1(x)ψ2(x) +ψ∗2(x)ψ1(x) +ψ∗2(x)ψ2(x)
=|ψ1(x)|2+|ψ2(x)|2+ψ∗1(x)ψ2(x) +ψ∗2(x)ψ1(x)
b) P(x) 6= |ψ1(x)|2 +|ψ2(x)|2 weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte in Auf- gabe 1.(a) vier Terme enth¨alt. Die zuz¨atlichen Ausdr¨ucke, die Interferenzeffekte ber¨ucksichtigen, werden auch in der Quantenmechanik ber¨ucksichtigt.
c) f(x) = e−x undg(x) =x2e−12x,x∈R+.
f(x) +g(x) =e−x+x2e−12x
|f(x)|2= (e−x)2=e−2x
|g(x)|2 = (x2e−12x)2=x4e−x
|f(x)|2+|g(x)|2 =e−2x+x4e−x
|f(x) +g(x)|2= (e−x+x2e−12x)2=e−2x+x4e−x+ 2x2e−32x
0 1 2
F(x)
f(x) g(x) f(x)+g(x)
0 1 2 3 4
1 2 3 4
|F(x)|2
x
|f(x)|2
|g(x)|2
|f(x)|2 + |g(x)|2
|f(x) + g(x)|2
1
2.
P(x) =N e−
(x−µ)2
2σ2 (1)
∞
Z
−∞
P(x) dx= 1 (2)
N
∞
Z
−∞
e−
(x−µ)2
2σ2 dx= 1 (3)
Seix−µ=v. Dann dx=dv. Aus Gl.(3)
N
∞
Z
−∞
e−v
2
2σ2 dv= 1
N
∞
Z
−∞
e−2σ12v2dv= 1
N s π
1 2σ2
= 1
N σ√ 2π = 1
∴N = 1 σ√
2π
Gleichung (2) bedeutet, dass die WahrscheinlichkeitsdichtefunktionP(x) normiert ist. Die Summe ¨uber alle M¨oglichkeiten in der gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte ist gleich 1.
3.
P(x) = 1
√ 8πσ2
e−x
2 2σ2 +e−
(x−µ)2 2σ2
(4)
hxi=
∞
Z
−∞
xP(x) dx
= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
x
e−x
2 2σ2 +e−
(x−µ)2 2σ2
dx
= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
xe−x
2 2σ2 dx
| {z }
=0
+
∞
Z
−∞
xe−
(x−µ) 2σ2 dx
= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
xe−
(x−µ)2 2σ2 dx
(5)
2
Seix−µ=v. Dann dx= dv und x=v+µ. Gl.(5) wird
hxi= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
(v+µ)e−v
2 2σ2 dv
= 1
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
ve−v
2 2σ2 dv
| {z }
=0
+
∞
Z
−∞
µe−v
2 2σ2 dv
= µ
√ 8πσ2
∞
Z
−∞
e−v
2 2σ2 dv
= µ
√ 8πσ2
s π
1 2σ2
= µ 2 F¨urσ = 0.5 undµ= 4.0,
hxi= µ 2 = 2
hxi bedeutet hier, dass der Durchschnitt aller m¨oglichen Ergebnisse der Messung in der Wahrscheinlichkeitsverteilung 2 ist, obwohl die wahrscheinlichtsten Werte x = 0 und x= 4 sind. Jedoch ist die Wahrscheinlichkeit von x= 2 nahe bis Null.
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